《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

4. (2024·沧州任丘八中模拟)有四根长度分别为3,4,6,$x$($x$为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,甲、乙分别给出了下列结论,判断正确的是( ).
甲：$x$的取值可能有4个；
乙：组成的三角形中,周长最大为16.

A.甲、乙都正确
B.甲、乙都不正确
C.甲正确,乙不正确
D.甲不正确,乙正确

答案： D　[解析]其中的任意三根的组合有3,4，6；3,4，x；3,6，x；4,6，x共四种情况.
由题意从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得3＜x＜7，即x=4或5或6.
①当三边为3,4,6时，其周长为3+4+6=13；
②当x=4时，周长最小为3+4+4=11，周长最大为4+6+4=14；
③当x=5时，周长最小为3+4+5=12，周长最大为4+6+5=15；
④若x=6时，周长最小为3+4+6=13，周长最大为4+6+6=16.
综上所述，x的取值可能有3个，三角形周长最大为16.故选D.

5. 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AC边上的中线将\triangle ABC$分成的两个三角形周长之差为4,且$\triangle ABC$的周长为16,求$BC$的长.

答案： 设AC边上的中线为BD，
由题意，得AB+AC+BC=16，
当$C_{\triangle ABD}-C_{\triangle CBD}=4$时，AB+AD+BD−BC−CD−BD=AB−BC=4.
设AB=2a，则BC=2a−4，
故2a+2a+2a−4=16，解得a=$\frac{10}{3}$，
此时AB=AC=$\frac{20}{3}$，BC=$\frac{8}{3}$，满足AB+BC＞AC.
当$C_{\triangle CBD}-C_{\triangle ABD}=4$时，BC+CD+BD−AB−AD−BD=BC−AB=4.
设AB=2a，则BC=2a+4，
故2a+2a+2a+4=16，解得a=2，
此时AB=AC=4，BC=8，不满足AB+AC＞BC.
故BC的长为$\frac{8}{3}$.

例1 (2025·辽宁沈阳皇姑区期末)如图,要想知道黑板上两直线$a$,$b$所夹锐角的大小,但因交点不在黑板内,无法直接测量,小慧设计了间接测量方案(相关标记和数据如图所示),则直线$a$,$b$所夹锐角的度数为( ).


A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
解析 如图,延长直线$a$,$b相交于点A$,

$\because\angle 1 = 120^{\circ}$,$\angle 2 = 100^{\circ}$,
$\therefore\angle 3 = 180^{\circ} - \angle 1 = 60^{\circ}$,$\angle 4 = 180^{\circ} - \angle 2 = 80^{\circ}$,
$\therefore\angle A = 180^{\circ} - \angle 3 - \angle 4 = 40^{\circ}$,
$\therefore直线a$,$b所夹锐角的度数为40^{\circ}$.
答案 B
点拨
解答本题需要把实际情境问题转化为数学问题,延长直线$a$,$b交于A$点,根据$\angle 1 = 120^{\circ}$,$\angle 2 = 100^{\circ}$,可求出$\angle 3$,$\angle 4$,最后根据三角形的内角和,即可求解.

答案： B　[解析]如图，延长直线a，b相交于点A，
∵∠1 = 120°，∠2 = 100°，
∴∠3 = 180° - ∠1 = 60°，∠4 = 180° - ∠2 = 80°，
∴∠A = 180° - ∠3 - ∠4 = 40°，
∴直线a，b所夹锐角的度数为40°.