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例2 (2025·贵州遵义红花岗区期末)阅读理解并解答:把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件,这种解题方法叫作配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用。
例1:因式分解:$a^{2}+6a+8$。
解:原式$=a^{2}+6a+9-1= (a+3)^{2}-1= (a+3-1)(a+3+1)= (a+2)(a+4)$。
例2:若$M= a^{2}-2ab+2b^{2}-2b+2$,利用配方法求M的最小值。
解:$a^{2}-2ab+2b^{2}-2b+2= a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2b+1+1= (a-b)^{2}+(b-1)^{2}+1$,
$\because (a-b)^{2}≥0,(b-1)^{2}≥0$,
$\therefore 当a= b= 1时$,M有最小值1。
请根据上述阅读材料,解决下列问题:
(1)用配方法因式分解:$x^{2}-16x+60$；
(2)求代数式$-x^{2}+14x+10$的最小(或最大)值,并写出相应的x的值；
(3)已知a,b,c是$\triangle ABC$的三边长,且满足$a^{2}+2b^{2}+c^{2}= 2ab+4b+6c-13$,试判断三角形的形状。
解析 (1)原式化为$x^{2}-16x+64-4$,利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可；
(2)先添括号与负号,将原式的前两项利用完全平方公式配平方,再利用非负数的性质确定最大值即可；
(3)分别对a,b,c用完全平方公式配方后,再根据非负数的性质确定a,b,c的值即可求出结果。
答案 (1)原式$=x^{2}-16x+64-4$
$=(x-8)^{2}-2^{2}$
$=(x-8-2)(x-8+2)$
$=(x-10)(x-6)$。
(2)原式$=-(x^{2}-14x)+10$
$=-(x^{2}-14x+7^{2}-7^{2})+10$
$=-(x-7)^{2}+49+10$
$=-(x-7)^{2}+59$。
$\because -(x-7)^{2}≤0$,
$\therefore -(x-7)^{2}+59≤59$,
$\therefore 代数式-x^{2}+14x+10的最大值为59$,此时$x= 7$。
(3)$\because a^{2}+2b^{2}+c^{2}= 2ab+4b+6c-13$,
$\therefore (a-b)^{2}+(b-2)^{2}+(c-3)^{2}= 0$,
$\therefore a-b= 0,b-2= 0,c-3= 0$,
$\therefore a= b= 2,c= 3$,
$\therefore \triangle ABC是等腰三角形$。
点拨
本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质及分组分解因式等知识,解题的关键是熟练掌握运算法则及公式。
例1:因式分解:$a^{2}+6a+8$。
解:原式$=a^{2}+6a+9-1= (a+3)^{2}-1= (a+3-1)(a+3+1)= (a+2)(a+4)$。
例2:若$M= a^{2}-2ab+2b^{2}-2b+2$,利用配方法求M的最小值。
解:$a^{2}-2ab+2b^{2}-2b+2= a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2b+1+1= (a-b)^{2}+(b-1)^{2}+1$,
$\because (a-b)^{2}≥0,(b-1)^{2}≥0$,
$\therefore 当a= b= 1时$,M有最小值1。
请根据上述阅读材料,解决下列问题:
(1)用配方法因式分解:$x^{2}-16x+60$；
(2)求代数式$-x^{2}+14x+10$的最小(或最大)值,并写出相应的x的值；
(3)已知a,b,c是$\triangle ABC$的三边长,且满足$a^{2}+2b^{2}+c^{2}= 2ab+4b+6c-13$,试判断三角形的形状。
解析 (1)原式化为$x^{2}-16x+64-4$,利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可；
(2)先添括号与负号,将原式的前两项利用完全平方公式配平方,再利用非负数的性质确定最大值即可；
(3)分别对a,b,c用完全平方公式配方后,再根据非负数的性质确定a,b,c的值即可求出结果。
答案 (1)原式$=x^{2}-16x+64-4$
$=(x-8)^{2}-2^{2}$
$=(x-8-2)(x-8+2)$
$=(x-10)(x-6)$。
(2)原式$=-(x^{2}-14x)+10$
$=-(x^{2}-14x+7^{2}-7^{2})+10$
$=-(x-7)^{2}+49+10$
$=-(x-7)^{2}+59$。
$\because -(x-7)^{2}≤0$,
$\therefore -(x-7)^{2}+59≤59$,
$\therefore 代数式-x^{2}+14x+10的最大值为59$,此时$x= 7$。
(3)$\because a^{2}+2b^{2}+c^{2}= 2ab+4b+6c-13$,
$\therefore (a-b)^{2}+(b-2)^{2}+(c-3)^{2}= 0$,
$\therefore a-b= 0,b-2= 0,c-3= 0$,
$\therefore a= b= 2,c= 3$,
$\therefore \triangle ABC是等腰三角形$。
点拨
本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质及分组分解因式等知识,解题的关键是熟练掌握运算法则及公式。
答案：
(1)解：原式$=x^{2}-16x+64-4$
$=(x-8)^{2}-2^{2}$
$=(x-8-2)(x-8+2)$
$=(x-10)(x-6)$
(2)解：原式$=-(x^{2}-14x)+10$
$=-(x^{2}-14x+49-49)+10$
$=-(x-7)^{2}+49+10$
$=-(x-7)^{2}+59$
$\because -(x-7)^{2}\leq0$
$\therefore$当$x=7$时，代数式有最大值$59$
(3)解：$\because a^{2}+2b^{2}+c^{2}=2ab+4b+6c-13$
$\therefore a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-4b+4+c^{2}-6c+9=0$
$\therefore (a-b)^{2}+(b-2)^{2}+(c-3)^{2}=0$
$\because (a-b)^{2}\geq0$，$(b-2)^{2}\geq0$，$(c-3)^{2}\geq0$
$\therefore a-b=0$，$b-2=0$，$c-3=0$
$\therefore a=b=2$，$c=3$
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形
(1)解：原式$=x^{2}-16x+64-4$
$=(x-8)^{2}-2^{2}$
$=(x-8-2)(x-8+2)$
$=(x-10)(x-6)$
(2)解：原式$=-(x^{2}-14x)+10$
$=-(x^{2}-14x+49-49)+10$
$=-(x-7)^{2}+49+10$
$=-(x-7)^{2}+59$
$\because -(x-7)^{2}\leq0$
$\therefore$当$x=7$时，代数式有最大值$59$
(3)解：$\because a^{2}+2b^{2}+c^{2}=2ab+4b+6c-13$
$\therefore a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-4b+4+c^{2}-6c+9=0$
$\therefore (a-b)^{2}+(b-2)^{2}+(c-3)^{2}=0$
$\because (a-b)^{2}\geq0$，$(b-2)^{2}\geq0$，$(c-3)^{2}\geq0$
$\therefore a-b=0$，$b-2=0$，$c-3=0$
$\therefore a=b=2$，$c=3$
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形
2. (2025·上海杨浦区期中)阅读材料,完成下列问题。
材料:已知多项式$2x^{3}-x^{2}+m有一个因式是2x+1$,求m的值,
解法一:设$2x^{3}-x^{2}+m= (2x+1)(x^{2}+ax+b)$,
则$2x^{3}-x^{2}+m= 2x^{3}+(2a+1)x^{2}+(a+2b)x+b$,
比较系数得$\begin{cases}2a+1= -1\\a+2b= 0\\b= m\end{cases} $,解得$\begin{cases}a= -1\\b= \frac {1}{2}\\m= \frac {1}{2}\end{cases} $,
$\therefore m= \frac {1}{2}$；
解法二:设$2x^{3}-x^{2}+m= A\cdot (2x+1)$(A为整式),
由于上式为恒等式,为方便计算,取$x= -\frac {1}{2},2×(-\frac {1}{2})^{3}-(-\frac {1}{2})^{2}+m= 0$,
故$m= \frac {1}{2}$。
(1)已知多项式$x^{4}-mx^{3}+2nx-16有两个因式分别是(x-1)和(x-2)$,求m和n的值；
(2)已知多项式$x^{3}+kx^{2}+3除以x+2$所得的余数,比该多项式除以$x+3$所得的余数少1,求k的值。
材料:已知多项式$2x^{3}-x^{2}+m有一个因式是2x+1$,求m的值,
解法一:设$2x^{3}-x^{2}+m= (2x+1)(x^{2}+ax+b)$,
则$2x^{3}-x^{2}+m= 2x^{3}+(2a+1)x^{2}+(a+2b)x+b$,
比较系数得$\begin{cases}2a+1= -1\\a+2b= 0\\b= m\end{cases} $,解得$\begin{cases}a= -1\\b= \frac {1}{2}\\m= \frac {1}{2}\end{cases} $,
$\therefore m= \frac {1}{2}$；
解法二:设$2x^{3}-x^{2}+m= A\cdot (2x+1)$(A为整式),
由于上式为恒等式,为方便计算,取$x= -\frac {1}{2},2×(-\frac {1}{2})^{3}-(-\frac {1}{2})^{2}+m= 0$,
故$m= \frac {1}{2}$。
(1)已知多项式$x^{4}-mx^{3}+2nx-16有两个因式分别是(x-1)和(x-2)$,求m和n的值；
(2)已知多项式$x^{3}+kx^{2}+3除以x+2$所得的余数,比该多项式除以$x+3$所得的余数少1,求k的值。
答案：
2.
(1)设x⁴-mx³+2nx-16=A(x-1)(x-2),令x=1,则1-m+2n-16=0，
令x=2,则16-8m+4n-16=0，
即{m-2n=-15,4m-2n=0,解得{m=5,n=10.
(2)令x³+kx²+3=(x+2)(x²+ax+b)+m，
x³+kx²+3=(x+3)(x²+cx+d)+n，
再令x=-2,则-8+4k+3=m，
令x=-3,则-27+9k+3=n.
∵多项式x³+kx²+3除以x+2所得的余数,比该多项式除以x+3所得的余数少1，
∴n-m=1,
∴(9k-24)-(4k-5)=1，
∴9k-24-4k+5=1,5k=20,k=4.
(1)设x⁴-mx³+2nx-16=A(x-1)(x-2),令x=1,则1-m+2n-16=0，
令x=2,则16-8m+4n-16=0，
即{m-2n=-15,4m-2n=0,解得{m=5,n=10.
(2)令x³+kx²+3=(x+2)(x²+ax+b)+m，
x³+kx²+3=(x+3)(x²+cx+d)+n，
再令x=-2,则-8+4k+3=m，
令x=-3,则-27+9k+3=n.
∵多项式x³+kx²+3除以x+2所得的余数,比该多项式除以x+3所得的余数少1，
∴n-m=1,
∴(9k-24)-(4k-5)=1，
∴9k-24-4k+5=1,5k=20,k=4.
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