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例 3 (2024·广东湛江期末)完全平方公式：$$ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } $$,$$ ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } $$是多项式乘法中的重要公式之一,它经过适当变形可以解决很多数学问题.
例如：若$$ a + b = 2 $$,$$ a b = 1 $$,求$$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $$的值.
解：$$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b = 2 ^ { 2 } - 2 × 1 = 2 $$.
根据以上信息回答下列问题：
(1)若$$ m + n = 3 $$,$$ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } $$,求 mn 的值；
(2)若$$ a - 2 b = 3 $$,$$ a b = 1 $$,求$$ a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } $$的值；
(3)如图,点 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AD 与 AB 上的点,以 AE,AF 为边在正方形内部作面积为 8 的长方形 AFG E,再分别以 FG,EG 为边作正方形 FGPH 和正方形 GRQE.若图中阴影部分的面积为 20,求长方形 AFG E 的周长.
名师启发 (1)先由$$ ( m + n ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } + 2 m n + n ^ { 2 } $$,得$$ 2 m n = ( m + n ) ^ { 2 } - ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) $$,再将$$ m + n = 3 $$,$$ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } $$代入计算即可得出 mn 的值；(2)按照(1)的方法代入计算即可；(3)设$$ A E = a $$,$$ E G = b $$,依题意可求出$$ a + b $$的值,进而可得长方形 AFG E 的周长.
例如：若$$ a + b = 2 $$,$$ a b = 1 $$,求$$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $$的值.
解：$$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b = 2 ^ { 2 } - 2 × 1 = 2 $$.
根据以上信息回答下列问题：
(1)若$$ m + n = 3 $$,$$ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } $$,求 mn 的值；
(2)若$$ a - 2 b = 3 $$,$$ a b = 1 $$,求$$ a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } $$的值；
(3)如图,点 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AD 与 AB 上的点,以 AE,AF 为边在正方形内部作面积为 8 的长方形 AFG E,再分别以 FG,EG 为边作正方形 FGPH 和正方形 GRQE.若图中阴影部分的面积为 20,求长方形 AFG E 的周长.
名师启发 (1)先由$$ ( m + n ) ^ { 2 } = m ^ { 2 } + 2 m n + n ^ { 2 } $$,得$$ 2 m n = ( m + n ) ^ { 2 } - ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) $$,再将$$ m + n = 3 $$,$$ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } $$代入计算即可得出 mn 的值；(2)按照(1)的方法代入计算即可；(3)设$$ A E = a $$,$$ E G = b $$,依题意可求出$$ a + b $$的值,进而可得长方形 AFG E 的周长.
答案：
(1)$\because (m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$，$\therefore 2mn=(m+n)^{2}-(m^{2}+n^{2})$. $\because m+n=3,m^{2}+n^{2}=5^{2}$，$\therefore 2mn=3^{2}-5^{2}=-16,\therefore mn=-8$.
(2)$\because a-2b=3,\therefore (a-2b)^{2}=3^{2}$，$\therefore a^{2}-4ab+4b^{2}=9,\therefore a^{2}+4b^{2}=9+4ab$. $\because ab=1,\therefore a^{2}+4b^{2}=9+4ab=13$.
(3)设$AE=a,EG=b$. $\because$长方形$AFGE$的面积为8，$\therefore ab=8$. $\because$四边形$FGPH$和四边形$GRQE$均为正方形，且面积之和为20，$\therefore a^{2}+b^{2}=20$. $\because (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$，$\therefore (a+b)^{2}=20+2×8=36$. $\because a,b$均为正数，$\therefore a+b=6$，$\therefore$长方形$AFGE$的周长为$2(a+b)=12$.
(1)$\because (m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$，$\therefore 2mn=(m+n)^{2}-(m^{2}+n^{2})$. $\because m+n=3,m^{2}+n^{2}=5^{2}$，$\therefore 2mn=3^{2}-5^{2}=-16,\therefore mn=-8$.
(2)$\because a-2b=3,\therefore (a-2b)^{2}=3^{2}$，$\therefore a^{2}-4ab+4b^{2}=9,\therefore a^{2}+4b^{2}=9+4ab$. $\because ab=1,\therefore a^{2}+4b^{2}=9+4ab=13$.
(3)设$AE=a,EG=b$. $\because$长方形$AFGE$的面积为8，$\therefore ab=8$. $\because$四边形$FGPH$和四边形$GRQE$均为正方形，且面积之和为20，$\therefore a^{2}+b^{2}=20$. $\because (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$，$\therefore (a+b)^{2}=20+2×8=36$. $\because a,b$均为正数，$\therefore a+b=6$，$\therefore$长方形$AFGE$的周长为$2(a+b)=12$.
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