搜索
1. (2024·广东深圳期中)图(1)是某折叠式靠背椅的实物图,支撑杆$AD$,$BC可绕连接点O$转动,椅面底部有根可以绕点$H动的连杆HD$,$GFB$段在转动过程中形状保持不变. 图(2)是椅子合拢状态的侧面示意图,椅面$CE和靠背FG$平行,测得$\angle BCE = 150^{\circ}$,$\angle ABO = 70^{\circ}$,则靠背$FG与水平地面AB的夹角\alpha = $____$^{\circ}$. 如图(3),打开时椅面$CE与地面AB$平行,延长$GF交AB于点M$,$FM平分\angle AFB$. 若$\angle FCE + \angle FAB = \beta + 105^{\circ}$,则$\beta = $____$^{\circ}$.
答案：
80 105 [解析]
∵CE//FG，
∴∠CFG=∠BCE=150°.
又∠CFG=∠ABO+α，
∴α=∠CFG−∠ABO=150°−70°=80°.
∵β=∠FAB+∠AFM，∠FCE+∠FAB=β+105°，
∴∠FCE+∠FAB=∠FAB+∠AFM+105°，
即∠FCE=∠AFM+105°.
∵CE//AB，
∴∠DCO=∠ABO，
即180°−∠FCE=180°−∠FAB−∠AFB，即∠FCE=∠FAB+∠AFB.
∵FM平分∠AFB，
∴∠FCE=∠FAB+2∠AFM.
∵∠FCE=∠AFM+105°，
∴∠FAB+∠AFM=105°，即β=105°.
∵CE//FG，
∴∠CFG=∠BCE=150°.
又∠CFG=∠ABO+α，
∴α=∠CFG−∠ABO=150°−70°=80°.
∵β=∠FAB+∠AFM，∠FCE+∠FAB=β+105°，
∴∠FCE+∠FAB=∠FAB+∠AFM+105°，
即∠FCE=∠AFM+105°.
∵CE//AB，
∴∠DCO=∠ABO，
即180°−∠FCE=180°−∠FAB−∠AFB，即∠FCE=∠FAB+∠AFB.
∵FM平分∠AFB，
∴∠FCE=∠FAB+2∠AFM.
∵∠FCE=∠AFM+105°，
∴∠FAB+∠AFM=105°，即β=105°.
例2 在$\triangle ABC$中,$\angle ABC的平分线与\triangle ABC的外角\angle ACD的平分线交于点E$.
(1)如图(1),若$\angle A = 70^{\circ}$,则$\angle E = $____,如图(2),若$\angle A = 90^{\circ}$,则$\angle E = $____,如图(3),若$\angle A = 130^{\circ}$,则$\angle E = $____.
(2)根据以上求解的过程,你发现$\angle A与\angle E$之间有什么关系？如果有,写出你的发现过程；如果没有,请说明理由(借助图(1)).
解答 (1)$35^{\circ}$ $45^{\circ}$ $65^{\circ}$ 提示：由三角形的外角性质,得$\angle ACD = \angle A + \angle ABC$,$\angle ECD = \angle E + \angle EBC$.
$\because\angle ABC的平分线与\angle ACB的外角\angle ACD的平分线交于点E$,
$\therefore\angle EBC = \dfrac{1}{2}\angle ABC$,$\angle ECD = \dfrac{1}{2}\angle ACD$,
$\therefore\angle E + \angle EBC = \dfrac{1}{2}(\angle A + \angle ABC)$,
$\therefore\angle E = \dfrac{1}{2}\angle A$. 代入角度计算即得答案.
(2)$\angle E = \dfrac{1}{2}\angle A$,理由同(1).
点拨
本题属于双角平分线模型：一般我们设被平分的两组角分别为$x和y$,然后结合角平分线的性质、“8字”型、“燕尾”型等进行计算,常用的与三角形有关的双角模型有如下结论：
(1)两个内角平分线夹角(钝角)等于$90^{\circ}$加上第三个角的度数的一半；
(2)两个外角平分线的夹角(锐角)等于$90^{\circ}$减去第三个角的度数的一半；
(3)一个内角和一个外角的平分线的夹角等于第三个角的度数的一半.
(1)如图(1),若$\angle A = 70^{\circ}$,则$\angle E = $____,如图(2),若$\angle A = 90^{\circ}$,则$\angle E = $____,如图(3),若$\angle A = 130^{\circ}$,则$\angle E = $____.
(2)根据以上求解的过程,你发现$\angle A与\angle E$之间有什么关系？如果有,写出你的发现过程；如果没有,请说明理由(借助图(1)).
解答 (1)$35^{\circ}$ $45^{\circ}$ $65^{\circ}$ 提示：由三角形的外角性质,得$\angle ACD = \angle A + \angle ABC$,$\angle ECD = \angle E + \angle EBC$.
$\because\angle ABC的平分线与\angle ACB的外角\angle ACD的平分线交于点E$,
$\therefore\angle EBC = \dfrac{1}{2}\angle ABC$,$\angle ECD = \dfrac{1}{2}\angle ACD$,
$\therefore\angle E + \angle EBC = \dfrac{1}{2}(\angle A + \angle ABC)$,
$\therefore\angle E = \dfrac{1}{2}\angle A$. 代入角度计算即得答案.
(2)$\angle E = \dfrac{1}{2}\angle A$,理由同(1).
点拨
本题属于双角平分线模型：一般我们设被平分的两组角分别为$x和y$,然后结合角平分线的性质、“8字”型、“燕尾”型等进行计算,常用的与三角形有关的双角模型有如下结论：
(1)两个内角平分线夹角(钝角)等于$90^{\circ}$加上第三个角的度数的一半；
(2)两个外角平分线的夹角(锐角)等于$90^{\circ}$减去第三个角的度数的一半；
(3)一个内角和一个外角的平分线的夹角等于第三个角的度数的一半.
答案：
(1)35° 45° 65° 提示：由三角形的外角性质，得∠ACD = ∠A + ∠ABC，∠ECD = ∠E + ∠EBC.
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点E，
∴∠EBC = $\dfrac{1}{2}$∠ABC，∠ECD = $\dfrac{1}{2}$∠ACD，
∴∠E + ∠EBC = $\dfrac{1}{2}$(∠A + ∠ABC)，
∴∠E = $\dfrac{1}{2}$∠A. 代入角度计算即得答案.
(2)∠E = $\dfrac{1}{2}$∠A，理由同
(1).
(1)35° 45° 65° 提示：由三角形的外角性质，得∠ACD = ∠A + ∠ABC，∠ECD = ∠E + ∠EBC.
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点E，
∴∠EBC = $\dfrac{1}{2}$∠ABC，∠ECD = $\dfrac{1}{2}$∠ACD，
∴∠E + ∠EBC = $\dfrac{1}{2}$(∠A + ∠ABC)，
∴∠E = $\dfrac{1}{2}$∠A. 代入角度计算即得答案.
(2)∠E = $\dfrac{1}{2}$∠A，理由同
(1).
2. [问题探究]
(1)①如图(1),若$AB// CD$,点$P在AB$,$CD$内部,$\angle B = 55^{\circ}$,$\angle D = 30^{\circ}$,则$\angle BPD = $____.
②如图(2),若$AB// CD$,点$P在AB$,$CD$外部,则$\angle BPD$,$\angle B$,$\angle D$之间数量关系为____(不需证明).
③如图(3),写出$\angle BPD$,$\angle B$,$\angle D$,$\angle BQD$之间的数量关系.
[变式拓展]
(2)如图(4),五角星$ABCDE$,请直接写出$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = $____.
(1)①如图(1),若$AB// CD$,点$P在AB$,$CD$内部,$\angle B = 55^{\circ}$,$\angle D = 30^{\circ}$,则$\angle BPD = $____.
②如图(2),若$AB// CD$,点$P在AB$,$CD$外部,则$\angle BPD$,$\angle B$,$\angle D$之间数量关系为____(不需证明).
③如图(3),写出$\angle BPD$,$\angle B$,$\angle D$,$\angle BQD$之间的数量关系.
[变式拓展]
(2)如图(4),五角星$ABCDE$,请直接写出$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = $____.
答案：
(1)①85° [解析]如图
(1)，过点P作PQ//AB.
∵AB//CD，
∴AB//PQ//CD，
∴∠B=∠BPQ，∠D=∠DPQ，
∴∠BPD=∠B+∠D=55°+30°=85°.
②∠B=∠BPD+∠D [解析]如图
(2).
∵AB//CD，
∴∠B=∠BQD.
又∠BQD=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠BPD+∠D.
③∠BPD=∠BQD+∠B+∠D
理由如下：如图
(3)，延长BP交CD于点E.
∵∠BPD=∠D+∠BED，∠BED=∠QBP+∠BQD，
∴∠BPD=∠D+∠QBP+∠BQD，
即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
(2)180° [解析]如图
(4).
∵∠CMN=∠A+∠D，
∠CNM=∠B+∠E，
∠CMN+∠CNM+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
(1)①85° [解析]如图
(1)，过点P作PQ//AB.
∵AB//CD，
∴AB//PQ//CD，
∴∠B=∠BPQ，∠D=∠DPQ，
∴∠BPD=∠B+∠D=55°+30°=85°.
②∠B=∠BPD+∠D [解析]如图
(2).
∵AB//CD，
∴∠B=∠BQD.
又∠BQD=∠D+∠BPD，
∴∠B=∠BPD+∠D.
③∠BPD=∠BQD+∠B+∠D
理由如下：如图
(3)，延长BP交CD于点E.
∵∠BPD=∠D+∠BED，∠BED=∠QBP+∠BQD，
∴∠BPD=∠D+∠QBP+∠BQD，
即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
(2)180° [解析]如图
(4).
∵∠CMN=∠A+∠D，
∠CNM=∠B+∠E，
∠CMN+∠CNM+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
查看更多完整答案，请扫码查看
