《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

4. (2025·北京海淀区期中)先阅读下面的材料,再解决问题：
已知$$ x ^ { 2 } + b x + c = 0 $$,在求关于 x 的代数式的值时,可将$$ x ^ { 2 } + b x + c = 0 $变形为$ x ^ { 2 } = - b x - c $$,就可将$$ x ^ { 2 } $$表示为 x 的一次多项式,从而达到“降次”的目的,我们称为“降次代换法”.
例如：已知$$ x ^ { 2 } + 2 x - 4 = 0 $$,求代数式$$ x ^ { 2 } \cdot ( x + 4 ) $$的值.
解：$$ \because x ^ { 2 } + 2 x - 4 = 0 $$,$$ \therefore x ^ { 2 } = - 2 x + 4 $$,
$ \therefore $原式$ = ( - 2 x + 4 ) ( x + 4 ) $
$ = - 2 x ^ { 2 } - 8 x + 4 x + 16 $
$ = - 2 x ^ { 2 } - 4 x + 16 $
$ = - 2 ( - 2 x + 4 ) - 4 x + 16 $
$ = 4 x - 8 - 4 x + 16 = 8 $$,$ \therefore x ^ { 2 } ( x + 4 ) = 8 $$.
请用“降次代换法”完成下列各小题：
(1)若$$ x ^ { 2 } + x - 1 = 0 $$,则代数式$$ ( x + 4 ) ( x - 3 ) $$的值为____；
(2)若$$ x ^ { 2 } + 5 x + 1 = 0 $$,求代数式$$ x ^ { 2 } ( x + 5 ) + ( x + 7 ) ( x - 1 ) $$的值；
(3)若$$ x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $$,则代数式$$ 5 x ^ { 3 } + 12 x ^ { 2 } - x + 3 $$的值为____.

答案：
(1)-11 [解析]$\because x^{2}+x-1=0$，$\therefore x^{2}=-x+1$，$\therefore (x+4)(x-3)=x^{2}+x-12=-x+1+x-12=-11$.
(2)$\because x^{2}+5x+1=0,\therefore x^{2}=-5x-1$，$\therefore x^{2}(x+5)+(x+7)(x-1)=(-5x-1)(x+5)+x^{2}+6x-7=-5x^{2}-26x-5+x^{2}+6x-7=-4(-5x-1)-26x-5+6x-7=-8$.
(3)5 [解析]$\because x^{2}+2x-1=0$，$\therefore x^{2}=-2x+1$，$\therefore 5x^{3}+12x^{2}-x+3=5x(-2x+1)+12x^{2}-x+3=-10x^{2}+5x+12x^{2}-x+3=2x^{2}+4x+3=2(-2x+1)+4x+3=-4x+2+4x+3=5$.

例 1 (2025·河南南阳期中)为落实劳动素质教育,推动学生劳动实践的有效进行,某校在校园开辟了劳动实践基地. 如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为 m,n ( m ＞ 0 ) 的正方形,其中重叠部分 B 为池塘,阴影部分 S _ { 1 } , S _ { 2 } 分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积. 若 m + n = 8 , m n = 15 ,则 S _ { 1 } - S _ { 2 } = ____.

解析$ \because m + n = 8 , m n = 15 ,$
$ \therefore ( m - n ) ^ { 2 } = ( m + n ) ^ { 2 } - 4 m n = 8 ^ { 2 } - 4 × 15 = 64 - 60 = 4 . \because m ＞ n , \therefore m - n = 2 ,$
$ \therefore S _ { 1 } - S _ { 2 } = m ^ { 2 } - S _ { B } - ( n ^ { 2 } - S _ { B } ) = m ^ { 2 } - S _ { B } - n ^ { 2 } + S _ { B } = m ^ { 2 } - n ^ { 2 } = ( m + n ) ( m - n ) = 8 × 2 = 16 .$
答案 16
点拨
本题考查了乘法公式的灵活运用以及整式的混合运算,掌握图形面积之间的和差关系及计算方法是解题的前提.

答案： 【解析】：本题可根据已知条件先求出$m - n$的值，再通过分析$S_1 - S_2$与$m$、$n$的关系，利用整式的运算法则进行求解。
步骤一：根据完全平方公式求出$m - n$的值
已知$m + n = 8$，$mn = 15$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn$。
将$m + n = 8$，$mn = 15$代入上式可得：
$(m - n)^2 = 8^2 - 4×15 = 64 - 60 = 4$
因为$m\gt n$，所以$m - n\gt0$，对$(m - n)^2 = 4$两边同时开平方可得$m - n = 2$。
步骤二：分析$S_1 - S_2$与$m$、$n$的关系并化简
由图可知$S_1 = m^2 - S_B$，$S_2 = n^2 - S_B$（$S_B$表示重叠部分$B$的面积），则$S_1 - S_2 = m^2 - S_B - (n^2 - S_B)$。
去括号可得：$S_1 - S_2 = m^2 - S_B - n^2 + S_B$，
合并同类项可得：$S_1 - S_2 = m^2 - n^2$。
步骤三：利用平方差公式计算$S_1 - S_2$的值
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$m^2 - n^2$进行因式分解可得$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$。
将$m + n = 8$，$m - n = 2$代入上式可得：
$S_1 - S_2 = (m + n)(m - n) = 8×2 = 16$。
【答案】：16