《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

例3 (2024·山东济宁金乡期中)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E。
(1)若BC= 10,求△ADE的周长；
(2)若∠BAC= 115°,求∠DAE的度数；
(3)设直线DM,EN交于点O,试判断点O是否在BC的垂直平分线上,并说明理由。

名师启发 (1)根据线段垂直平分线的性质即可解答；
(2)根据三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质计算即可；
(3)根据线段垂直平分线的性质及其逆定理来进行证明。
方法技巧
本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理,利用线段的垂直平分线的性质,正确构造线段垂直平分线的基本图形是解题的关键。

答案：

(1)
∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴DB=DA,EA=EC.
∵BC=10,
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10,
∴△ADE的周长为10.
(2)
∵∠BAC=115°,
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=65°.
∵DA=DB,EA=EC,
∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC,
∴∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=65°,
∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=50°,
∴∠DAE的度数为50°.
(3)点O在BC的垂直平分线上.理由如下:如图,连接OA,OB,OC.
∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，
∴OA=OB,OA=OC,
∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.
　　　　　　　　　

例4 (2025·广东江门恩平期中)已知点A(2a - b,5 + a),B(2b - 1,-a + b)。
(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值；
(2)若A,B关于y轴对称,求(4a + b)^{2024}的值。
名师启发 (1)根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”列方程组来求解；
(2)根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”列方程组求出a,b的值,然后代入代数式进行计算。

答案：
(1)
∵点A,B关于x轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = 2b - 1\\5 + a = -(-a + b)\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -8\\b = -5\end{cases}$，
∴a=−8,b=−5.
(2)
∵点A,B关于y轴对称，
∴$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1)\\5 + a = -a + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 3\end{cases}$，
∴$(4a + b)^{2024}=(-4 + 3)^{2024}=1$.

例5 如图,在△ABC中,AB = AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE = CF,BD = CE。
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A = 50°时,求∠DEF的度数。

名师启发 (1)利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等,可得DE = EF,再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据一线三等角模型计算即可。
方法技巧
掌握等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质是解题的关键。

答案：
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.在△BDE和△CEF中，$\begin{cases}BD = CE\\∠B = ∠C\\BE = CF\end{cases}$
∴△BDE≌△CEF(SAS),
∴DE=EF,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)
∵△BDE≌△CEF,
∴∠BDE=∠CEF,
∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE.
∵∠B+(∠BED+∠BDE)=180°,∠DEF+(∠BED+∠CEF)=180°,
∴∠B=∠DEF.
∵∠A=50°,AB=AC,
∴∠B=$\frac{1}{2}$×(180°−50°)=65°,
∴∠DEF=65°.