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例1 如图,$\triangle ABC$是某小区的一块空地,现要加以绿化,其中点O是空地内安装喷泉的位置,它到三边的距离相等,即$OD= OE= OF= m$。a,b,c为$\triangle ABC$的三边BC,AC,AB的长,现测得$m= 8.48$米,$a= 41$米,$b= 34$米,$c= 25$米。
(1)这块空地的面积用含a,b,c,m的代数式表示为____；
(2)利用因式分解求这块空地的面积。
解析 (1)根据$S_{空地}= S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}$,列出表达式即可；
(2)用提公因式法把(1)中得到的代数式进行因式分解,再把所给数值代入计算即可。
答案 (1)$\frac {1}{2}ma+\frac {1}{2}mb+\frac {1}{2}mc$ 提示:
∵点O到三边的距离为OD,OE,OF,
$\therefore OD⊥BC,OF⊥AB,OE⊥AC$。
$\because OD= OE= OF= m,AB= c,BC= a,AC= b,\therefore S_{\triangle ABO}= \frac {1}{2}mc,S_{\triangle BCO}= \frac {1}{2}ma,S_{\triangle ACO}= \frac {1}{2}mb$。
$\because S_{空地}= S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}+S_{\triangle ABO}$,
$\therefore S_{空地}= \frac {1}{2}ma+\frac {1}{2}mb+\frac {1}{2}mc$。
(2)$\because \frac {1}{2}ma+\frac {1}{2}mb+\frac {1}{2}mc= \frac {1}{2}m(a+b+c),m= 8.48$米,$a= 41$米,$b= 34$米,$c= 25$米,
$\therefore 原式= \frac {1}{2}×8.48×(41+34+25)= 424$(平方米)。
故这块空地的面积为424平方米。
点拨
本题在新情境中综合考查了三角形面积公式、列代数式以及因式分解的应用等知识。用提公因式法把所得代数式进行因式分解是解决本题的关键。
(1)这块空地的面积用含a,b,c,m的代数式表示为____；
(2)利用因式分解求这块空地的面积。
解析 (1)根据$S_{空地}= S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}$,列出表达式即可；
(2)用提公因式法把(1)中得到的代数式进行因式分解,再把所给数值代入计算即可。
答案 (1)$\frac {1}{2}ma+\frac {1}{2}mb+\frac {1}{2}mc$ 提示:
∵点O到三边的距离为OD,OE,OF,
$\therefore OD⊥BC,OF⊥AB,OE⊥AC$。
$\because OD= OE= OF= m,AB= c,BC= a,AC= b,\therefore S_{\triangle ABO}= \frac {1}{2}mc,S_{\triangle BCO}= \frac {1}{2}ma,S_{\triangle ACO}= \frac {1}{2}mb$。
$\because S_{空地}= S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}+S_{\triangle ABO}$,
$\therefore S_{空地}= \frac {1}{2}ma+\frac {1}{2}mb+\frac {1}{2}mc$。
(2)$\because \frac {1}{2}ma+\frac {1}{2}mb+\frac {1}{2}mc= \frac {1}{2}m(a+b+c),m= 8.48$米,$a= 41$米,$b= 34$米,$c= 25$米,
$\therefore 原式= \frac {1}{2}×8.48×(41+34+25)= 424$(平方米)。
故这块空地的面积为424平方米。
点拨
本题在新情境中综合考查了三角形面积公式、列代数式以及因式分解的应用等知识。用提公因式法把所得代数式进行因式分解是解决本题的关键。
答案：
【解析】：
(1)这块空地的面积可以拆分为三个小三角形的面积和。
已知点$O$到三边的距离都为$m$，即三个小三角形的高都为$m$，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（这里$a$为底，$h$为高），
$\triangle ABO$的底为$AB = c$，则$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}mc$；
$\triangle BCO$的底为$BC = a$，则$S_{\triangle BCO}=\frac{1}{2}ma$；
$\triangle ACO$的底为$AC = b$，则$S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}mb$。
所以$S_{空地}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$。
(2)对$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$提取公因式$\frac{1}{2}m$，
可得$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc=\frac{1}{2}m(a + b + c)$。
已知$m = 8.48$米，$a = 41$米，$b = 34$米，$c = 25$米，
将其代入$\frac{1}{2}m(a + b + c)$可得：
$\frac{1}{2}×8.48×(41 + 34 + 25)$
$=\frac{1}{2}×8.48×100$
$ = 424$（平方米）
【答案】：
(1)$\frac {1}{2}ma+\frac {1}{2}mb+\frac {1}{2}mc$；
(2)424平方米
(1)这块空地的面积可以拆分为三个小三角形的面积和。
已知点$O$到三边的距离都为$m$，即三个小三角形的高都为$m$，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（这里$a$为底，$h$为高），
$\triangle ABO$的底为$AB = c$，则$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}mc$；
$\triangle BCO$的底为$BC = a$，则$S_{\triangle BCO}=\frac{1}{2}ma$；
$\triangle ACO$的底为$AC = b$，则$S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}mb$。
所以$S_{空地}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$。
(2)对$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc$提取公因式$\frac{1}{2}m$，
可得$\frac{1}{2}ma+\frac{1}{2}mb+\frac{1}{2}mc=\frac{1}{2}m(a + b + c)$。
已知$m = 8.48$米，$a = 41$米，$b = 34$米，$c = 25$米，
将其代入$\frac{1}{2}m(a + b + c)$可得：
$\frac{1}{2}×8.48×(41 + 34 + 25)$
$=\frac{1}{2}×8.48×100$
$ = 424$（平方米）
【答案】：
(1)$\frac {1}{2}ma+\frac {1}{2}mb+\frac {1}{2}mc$；
(2)424平方米
1. (2025·辽宁大连期末)问题背景:
在如今信息快速发展的时代,“密码”与我们的生活已经紧密相连,密不可分,而诸如生日,连续数字等简单密码又容易被破解,密码过于复杂自己又容易忘记,因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了。
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法,其中有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆。其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式$x^{3}-x因式分解的结果为x(x-1)(x+1)$,当$x= 10$时,$x-1= 9,x+1= 11$,此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011。
实际应用:
(1)根据上述方法,小明同学设置了智学网登录密码:多项式$x^{3}-xy^{2}$分解因式后利用x,y的数值设置密码,当$x= 9,y= 3$时,请破解小明的密码是多少；
(2)学校管理员设置了一个密码,一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底分别为不同的整数x,y,请你破解出由多项式$x^{3}-4xy^{2}$分解因式后得到的密码。
拓展应用:
(3)若多项式$x^{3}+(m-2n)x^{2}+5nx$因式分解后,利用前面的方法,当$x= 24$时,可以得到密码为242932,求m,n的值。
在如今信息快速发展的时代,“密码”与我们的生活已经紧密相连,密不可分,而诸如生日,连续数字等简单密码又容易被破解,密码过于复杂自己又容易忘记,因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了。
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法,其中有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆。其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式$x^{3}-x因式分解的结果为x(x-1)(x+1)$,当$x= 10$时,$x-1= 9,x+1= 11$,此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011。
实际应用:
(1)根据上述方法,小明同学设置了智学网登录密码:多项式$x^{3}-xy^{2}$分解因式后利用x,y的数值设置密码,当$x= 9,y= 3$时,请破解小明的密码是多少；
(2)学校管理员设置了一个密码,一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底分别为不同的整数x,y,请你破解出由多项式$x^{3}-4xy^{2}$分解因式后得到的密码。
拓展应用:
(3)若多项式$x^{3}+(m-2n)x^{2}+5nx$因式分解后,利用前面的方法,当$x= 24$时,可以得到密码为242932,求m,n的值。
答案：
1.
(1)x³-xy²=x(x²-y²)
=x(x-y)(x+y)，
当x=9,y=3时,x-y=9-3=6,x+y=9+3=12，
∴小明的密码是060912.
(2)
∵一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底分别为不同的整数x,y,
∴2x+y=12.
∵x,y都为整数，
∴{x=5,y=2或{x=4,y=4(不合题意,舍去)，
x³-4xy²=x(x²-4y²)
=x(x+2y)(x-2y).
当x=5,y=2时,x+2y=5+2×2=9，x-2y=5-2×2=1，
∴多项式x³-4xy²分解因式后得到的密码是010509.
(3)x³+(m-2n)x²+5nx
=x[x²+(m-2n)x+5n]，
设x[x²+(m-2n)x+5n]=x(x+a)·(x+b)=x[x²+(a+b)x+ab]，
∵当x=24时,可以得到密码为242932，
∴x+a=29,x+b=32或x+a=32,x+b=29,
∴a=5,b=8或a=8,b=5，
∴a+b=13,ab=40，
∴{m-2n=13①,5n=40②,由②得n=8，
把n=8代入①,得m=29,
∴m=29，n=8.
(1)x³-xy²=x(x²-y²)
=x(x-y)(x+y)，
当x=9,y=3时,x-y=9-3=6,x+y=9+3=12，
∴小明的密码是060912.
(2)
∵一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底分别为不同的整数x,y,
∴2x+y=12.
∵x,y都为整数，
∴{x=5,y=2或{x=4,y=4(不合题意,舍去)，
x³-4xy²=x(x²-4y²)
=x(x+2y)(x-2y).
当x=5,y=2时,x+2y=5+2×2=9，x-2y=5-2×2=1，
∴多项式x³-4xy²分解因式后得到的密码是010509.
(3)x³+(m-2n)x²+5nx
=x[x²+(m-2n)x+5n]，
设x[x²+(m-2n)x+5n]=x(x+a)·(x+b)=x[x²+(a+b)x+ab]，
∵当x=24时,可以得到密码为242932，
∴x+a=29,x+b=32或x+a=32,x+b=29,
∴a=5,b=8或a=8,b=5，
∴a+b=13,ab=40，
∴{m-2n=13①,5n=40②,由②得n=8，
把n=8代入①,得m=29,
∴m=29，n=8.
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