《2025年智趣暑假作业七年级合订本》

2. 如图所示,在$△ABC$中,AD是BC边上的高,BE是AC边上的高,且AD,BE交于点F,若$BF= AC,CD= 3,BD= 8$,则线段AF的长度为____.

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答案： 解：
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°。
∵∠AFE=∠BFD，∠AEF=∠BDF=90°，
∴∠CAD=∠FBD（等角的余角相等）。
在△BDF和△ADC中，
∠BDF=∠ADC=90°，
∠FBD=∠CAD，
BF=AC，
∴△BDF≌△ADC（AAS）。
∴BD=AD=8，DF=CD=3。
∵AF=AD-DF，
∴AF=8-3=5。
答案：5

1. 如图,$△ABC,△CDE$均为等腰直角三角形,$∠ACB= ∠DCE= 90^{\circ }$,点E在AB上,试说明：$△CDA\cong △CEB$.

答案： 解：因为△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
所以CE=CD，BC=AC，
∠ACB - ∠ACE = ∠DCE - ∠ACE，即∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中，
$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠ECB=∠DCA, \\ EC=DC, \end{cases}$
所以△CDA≌△CEB（SAS）。

2. 如图,已知三角形ABC是等腰直角三角形,$∠ACB= 90^{\circ }$,F是AB的中点,直线l经过点C且位于点F的右侧,分别过点A,B作l的垂线,垂足分别为D,E,求证：$△ADC\cong △CEB$.

答案： 证明：$\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore AC=BC$。
$\because AD \perp l$，$BE \perp l$，$\therefore \angle ADC=\angle CEB=90^{\circ}$。
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore \angle ACD+\angle BCE=90^{\circ}$。
$\because \angle ADC=90^{\circ}$，$\therefore \angle CAD+\angle ACD=90^{\circ}$，$\therefore \angle CAD=\angle BCE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中，
$\begin{cases} \angle ADC=\angle CEB, \\ \angle CAD=\angle BCE, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore \triangle ADC\cong\triangle CEB(AAS)$。