《2025年智趣暑假作业七年级合订本》

1. 若$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边的长,化简$|a - b - c| + |b - c - a| + |c + a - b|$。

答案： 解：
∵a，b，c是△ABC的三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴a - b - c＜0，b - c - a＜0，c + a - b＞0，
∴|a - b - c| + |b - c - a| + |c + a - b|
=-(a - b - c) - (b - c - a) + (c + a - b)
=-a + b + c - b + c + a + c + a - b
=a - b + 3c.

2. 在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,一腰上的中线$BD将这个三角形的周长分为15cm和6cm$两部分,求这个等腰三角形的三边长。

答案： 解：设 $ AB = AC = 2x \, \text{cm} $，则 $ AD = DC = x \, \text{cm} $。
情况1： $ AB + AD = 15 \, \text{cm} $，$ BC + DC = 6 \, \text{cm} $
$ 2x + x = 15 $
解得 $ x = 5 $
$ AB = AC = 2x = 10 \, \text{cm} $
$ BC = 6 - x = 6 - 5 = 1 \, \text{cm} $
此时三边长为 $ 10 \, \text{cm}, 10 \, \text{cm}, 1 \, \text{cm} $，满足三角形三边关系。
情况2： $ AB + AD = 6 \, \text{cm} $，$ BC + DC = 15 \, \text{cm} $
$ 2x + x = 6 $
解得 $ x = 2 $
$ AB = AC = 2x = 4 \, \text{cm} $
$ BC = 15 - x = 15 - 2 = 13 \, \text{cm} $
此时 $ 4 + 4 = 8 ＜ 13 $，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，这个等腰三角形的三边长为 $ 10 \, \text{cm}, 10 \, \text{cm}, 1 \, \text{cm} $。

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是高,$AE是\angle BAC$的平分线,$\angle B = 20^{\circ}$,$\angle C = 60^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数。

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-20^{\circ}-60^{\circ}=100^{\circ}$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=50^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。
所以$\angle DAE=\angle BAD-\angle BAE=70^{\circ}-50^{\circ}=20^{\circ}$。
答：$\angle DAE$的度数为$20^{\circ}$。