《2025年智趣暑假作业七年级合订本》

1. 下列运算正确的是(C)
A.$(a + b)(b - a) = a^{2} - b^{2}$
B.$(2m + n)(2m - n) = 2m^{2} - n^{2}$
C.$(x^{m} + 3)(x^{m} - 3) = x^{2m} - 9$
D.$(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^{2}$

答案： 解：
A. $(a + b)(b - a) = b^{2} - a^{2} \neq a^{2} - b^{2}$，错误；
B. $(2m + n)(2m - n) = (2m)^{2} - n^{2} = 4m^{2} - n^{2} \neq 2m^{2} - n^{2}$，错误；
C. $(x^{m} + 3)(x^{m} - 3) = (x^{m})^{2} - 3^{2} = x^{2m} - 9$，正确；
D. $(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$，$(x - 1)^{2} = x^{2} - 2x + 1$，$x^{2} - 1 \neq x^{2} - 2x + 1$，错误。
结论：C

2. 若$x$,$y满足|x + y + 5| + (x - y - 9)^{2} = 0$,则$x^{2} - y^{2}$的值为(D)
A.14
B.-14
C.45
D.-45

答案： 解：因为|x + y + 5| + (x - y - 9)² = 0，
且|x + y + 5|≥0，(x - y - 9)²≥0，
所以x + y + 5 = 0，x - y - 9 = 0，
即x + y = -5，x - y = 9，
则x² - y² = (x + y)(x - y) = (-5)×9 = -45。
答案：D

3. 如图,在边长为$2a的正方形中央剪去一边长为(a + 2)的小正方形(a ＞ 2)$,将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积为(C)
A.$a^{2} + 4$
B.$2a^{2} + 4a$
C.$3a^{2} - 4a - 4$
D.$4a^{2} - a - 2$

答案： 解：大正方形面积为$(2a)^2 = 4a^2$，小正方形面积为$(a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4$，剩余部分面积为$4a^2 - (a^2 + 4a + 4) = 3a^2 - 4a - 4$。
C

1. 若$m - n = 2$,$m + n = 5$,则$m^{2} - n^{2}$的值为10。

答案： 解：因为$m - n = 2$，$m + n = 5$，
根据平方差公式$m^{2} - n^{2}=(m - n)(m + n)$，
所以$m^{2} - n^{2}=2×5=10$。
10

2. 观察等式$2^{2} - 1^{2} = 3$,$3^{2} - 2^{2} = 5$,$4^{2} - 3^{2} = 7$,$5^{2} - 4^{2} = 9…用含自然数n$的等式表示它的规律为$(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$。

答案： $(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$

3. 若$(-7m + A)(4n + B) = 16n^{2} - 49m^{2}$,则$A = $4n,$B = $7m。

答案： 解：因为$16n^{2} - 49m^{2}=(4n)^{2}-(7m)^{2}=(4n + 7m)(4n - 7m)$，对比$(-7m + A)(4n + B)$，可得$A = 4n$，$B = 7m$。
$A = 4n$，$B = 7m$

4. 化简：$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1) + 1 = $$2^{16}$。

答案： 解：原式$=(2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1) + 1$
$=(2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1) + 1$
$=(2^{4} - 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1) + 1$
$=(2^{8} - 1)(2^{8} + 1) + 1$
$=2^{16} - 1 + 1$
$=2^{16}$
$2^{16}$

5. 为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的南北方向缩短$4m$,东西方向增加$4m$,则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比减少$16m^2$。

答案： 设正方形草坪的边长为 $ x $ 米。
原来正方形草坪的面积为 $ x^2 $ 平方米。
改造后长方形草坪的长为 $ (x + 4) $ 米，宽为 $ (x - 4) $ 米，面积为 $ (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 $ 平方米。
面积变化为 $ (x^2 - 16) - x^2 = -16 $ 平方米。
答：减少 $ 16m^2 $。