《2025年智趣暑假作业七年级合订本》

1. 计算：
(1)$(-a^{2})^{3}\cdot a^{3}+(-a)^{2}\cdot a^{7}-5(a^{3})^{3}$；
(2)$[(a - 2b)^{2}]^{m}\cdot[(2b - a)^{3}]^{n}$($m,n$是正整数)。

答案：
(1) 解：$(-a^{2})^{3}\cdot a^{3}+(-a)^{2}\cdot a^{7}-5(a^{3})^{3}$
$=-a^{6}\cdot a^{3}+a^{2}\cdot a^{7}-5a^{9}$
$=-a^{9}+a^{9}-5a^{9}$
$=-5a^{9}$
(2) 解：$[(a - 2b)^{2}]^{m}\cdot[(2b - a)^{3}]^{n}$
$=(2b - a)^{2m}\cdot(2b - a)^{3n}$
$=(2b - a)^{2m + 3n}$

2. 先化简再求值：$[-3(m + n)]^{3}\cdot(m - n)[-2(m + n)(m - n)]^{2}$,其中$m = -3$,$n = 2$。

答案： 解：原式$=[-27(m+n)^3]\cdot(m-n)\cdot[4(m+n)^2(m-n)^2]$
$=-27×4\cdot(m+n)^3\cdot(m+n)^2\cdot(m-n)\cdot(m-n)^2$
$=-108(m+n)^5(m-n)^3$
当$m=-3$，$n=2$时，
$m+n=-3+2=-1$，$m-n=-3-2=-5$
原式$=-108×(-1)^5×(-5)^3$
$=-108×(-1)×(-125)$
$=-108×125$
$=-13500$

3. 如果$a = 3,b = 5$,求$a^{2000}+b^{2010}$的个位数字是多少？

答案： 解：计算$a^{2000}$的个位数字：
$a = 3$，$3^1 = 3$（个位3），$3^2 = 9$（个位9），$3^3 = 27$（个位7），$3^4 = 81$（个位1），$3^5 = 243$（个位3），周期为4。
$2000÷4 = 500$，无余数，故$3^{2000}$个位为1。
计算$b^{2010}$的个位数字：
$b = 5$，$5^n$个位始终为5，故$5^{2010}$个位为5。
$1 + 5 = 6$，所以$a^{2000}+b^{2010}$的个位数字是6。
6