《2025年智趣暑假作业七年级合订本》

2. 如果不等式$3x - m \leq 0$的正整数解是1,2,3,那么m的取值范围是$9 \leq m ＜ 12$。

答案： 解：解不等式$3x - m \leq 0$，得$x \leq \frac{m}{3}$。
因为不等式的正整数解是1，2，3，所以$3 \leq \frac{m}{3} ＜ 4$。
解得$9 \leq m ＜ 12$。
故答案为：$9 \leq m ＜ 12$

3. 已知关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac{x - 1}{2} - 1 ＜ 0,\\ a - x ＜ 0\end{array} \right.$有且只有3个整数解,则a的取值范围是$-1 ≤ a ＜ 0$。

答案： 解：解不等式$\frac{x - 1}{2} - 1 ＜ 0$，
$\frac{x - 1}{2} ＜ 1$，
$x - 1 ＜ 2$，
$x ＜ 3$。
解不等式$a - x ＜ 0$，
$x ＞ a$。
所以不等式组的解集为$a ＜ x ＜ 3$。
因为不等式组有且只有3个整数解，即2，1，0，
所以$-1 ≤ a ＜ 0$。
答案：$-1 ≤ a ＜ 0$

1. 若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{3}(2x + 5) ＞ x + 1,\\ \frac{1}{2}(x + 3) \leq x + a\end{array} \right.$至少有3个整数解,且关于y的方程$2 - (a + y) = 2(y - 3)$的解为非负整数,则满足题意的所有整数a的和是多少？

答案： 解：解不等式组：
$\begin{cases}\frac{1}{3}(2x + 5) ＞ x + 1 \\frac{1}{2}(x + 3) \leq x + a\end{cases}$
解第一个不等式：
$\frac{1}{3}(2x + 5) ＞ x + 1 \implies 2x + 5 ＞ 3x + 3 \implies x ＜ 2$
解第二个不等式：
$\frac{1}{2}(x + 3) \leq x + a \implies x + 3 \leq 2x + 2a \implies x \geq 3 - 2a$
不等式组解集为 $3 - 2a \leq x ＜ 2$，至少有3个整数解，整数解为1，0，-1，故：
$3 - 2a \leq -1 \implies a \geq 2$
解方程 $2 - (a + y) = 2(y - 3)$：
$2 - a - y = 2y - 6 \implies 3y = 8 - a \implies y = \frac{8 - a}{3}$
解为非负整数，即 $\frac{8 - a}{3} \geq 0$ 且为整数，故 $8 - a = 3k$（$k$ 为非负整数），则 $a = 8 - 3k$。
结合 $a \geq 2$，$k$ 可取0，1，2：
- $k=0$ 时，$a=8$
- $k=1$ 时，$a=5$
- $k=2$ 时，$a=2$
满足条件的整数 $a$ 为2，5，8，和为 $2 + 5 + 8 = 15$。
答案：15

2. 科技节是某校为学生搭建科技创新平台,展现师生科技创新形象及科学素养的重大节日. 该校在科技节活动中开展了以“科技创造未来”为主题的科普知识竞赛,各班选派一名同学参加,其中某一环节共有25道题,答对一题得4分,答错或不答每题扣2分,得分不低于88分将有奖品赠送. 如果参赛选手想在本环节中获得奖品,则他至少需要答对多少道题？

答案： 解：设参赛选手需要答对$x$道题，则答错或不答的题目数为$(25 - x)$道。
根据题意，得$4x - 2(25 - x) \geq 88$
去括号，得$4x - 50 + 2x \geq 88$
合并同类项，得$6x - 50 \geq 88$
移项，得$6x \geq 88 + 50$
计算，得$6x \geq 138$
两边同时除以6，得$x \geq 23$
答：他至少需要答对23道题。