《2025年智趣暑假作业七年级合订本》

3. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { x + 2 ( x - 1 ) \leqslant - 5, } \\ { \frac { 2 k + x } { 3 } \leqslant x } \end{array} \right. $ 无解,且关于 $ y $ 的一元一次方程 $ 2 ( y + 1 ) + 3 k = 11 $ 的解为非负数,则符合条件的所有整数 $ k $ 的值的和是______6.

答案： 解：解不等式组
$\begin{cases}x + 2(x - 1) \leq -5 \\frac{2k + x}{3} \leq x\end{cases}$
解第一个不等式：
$x + 2x - 2 \leq -5 \\3x \leq -3 \\x \leq -1$
解第二个不等式：
$2k + x \leq 3x \\2k \leq 2x \\x \geq k$
因为不等式组无解，所以 $k ＞ -1$。
解方程 $2(y + 1) + 3k = 11$：
$2y + 2 + 3k = 11 \\2y = 9 - 3k \\y = \frac{9 - 3k}{2}$
因为方程的解为非负数，所以 $\frac{9 - 3k}{2} \geq 0$，解得 $k \leq 3$。
综上，$-1 ＜ k \leq 3$，整数 $k$ 为 0, 1, 2, 3。
符合条件的所有整数 $k$ 的值的和是 $0 + 1 + 2 + 3 = 6$。
6

1. 解不等式组 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 1 ) \geqslant 3 ( 1 - x ), } \\ { \frac { 2 x - 1 } { 3 } ＜ 2 - \frac { x } { 2 }, } \end{array} \right. $ 写出它的整数解,并把它的解集表示在数轴上.

答案：
$ \begin{cases} 2(x + 1) \geq 3(1 - x), ① \\ \frac{2x - 1}{3} ＜ 2 - \frac{x}{2}, ② \end{cases} $，解不等式①，得 $ x \geq \frac{1}{5} $，解不等式②，得 $ x ＜ 2 $，
∴ 不等式组的解集为 $ \frac{1}{5} \leq x ＜ 2 $，
∴ 它的整数解为 1。把它的解集表示在数轴上如图：

2. 儿童节到了,某小区决定购买一批书包送给小朋友们. 经市场调查得知,购买 $ 3 $ 个男生书包与 $ 4 $ 个女生书包费用相同,购买 $ 5 $ 个男生书包与 $ 4 $ 个女生书包共需 $ 1600 $ 元.
(1)求男生书包和女生书包的单价.
(2)该小区要求男生书包比女生书包多 $ 4 $ 个,两种书包至少需要 $ 22 $ 个,且购买两种书包的费用不超过 $ 5000 $ 元,求该小区有多少种购买方案.

答案：
(1) 设男生书包的单价是 $ x $ 元，女生书包的单价是 $ y $ 元，根据题意得
$\begin{cases} 3x = 4y, \\ 5x + 4y = 1600 \end{cases}$
解得
$\begin{cases} x = 200, \\ y = 150 \end{cases}$
答：男生书包的单价是 200 元，女生书包的单价是 150 元。
(2) 设购买 $ m $ 个女生书包，则购买 $ (m + 4) $ 个男生书包，根据题意得
$\begin{cases} m + 4 + m \geq 22, \\ 200(m + 4) + 150m \leq 5000 \end{cases}$
解得 $ 9 \leq m \leq 12 $。
∵ $ m $ 为正整数，
∴ $ m $ 可以为 9，10，11，12。
答：该小区有 4 种购买方案。