《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

1. 如图,在以$O$为原点的直角坐标系中,点$A$、$C分别在x$轴、$y$轴的正半轴上,点$B(a,b)$在第一象限,四边形$OABC$是矩形,若反比例函数$y= \frac {k}{x}$($k＞0$,$x＞0$)的图像与$AB相交于点D$,与$BC相交于点E$,且$BE= CE$.
(1) 求证:$BD= AD$;
(2) 若四边形$ODBE的面积是9$,求$k$的值.

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 $OABC$ 是矩形，点 $B(a,b)$，
∴ 点 $C(0,b)$，点 $A(a,0)$，$BC=a$，$AB=b$。
∵ $BE=CE$，
∴ $E$ 为 $BC$ 中点，$E\left(\frac{a}{2},b\right)$。
∵ 点 $E$ 在 $y=\frac{k}{x}$ 上，
∴ $k=\frac{a}{2} \cdot b=\frac{ab}{2}$。
∵ 点 $D$ 在 $AB$ 上，横坐标为 $a$，设 $D(a,y)$，
∵ 点 $D$ 在 $y=\frac{k}{x}$ 上，
∴ $y=\frac{k}{a}=\frac{\frac{ab}{2}}{a}=\frac{b}{2}$，
∴ $D\left(a,\frac{b}{2}\right)$，即 $D$ 为 $AB$ 中点，
∴ $BD=AD$。
(2) 解：
$S_{\text{矩形}ABCO}=OA \cdot OC=ab$，
$S_{\triangle OCE}=\frac{1}{2} \cdot OC \cdot CE=\frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a}{2}=\frac{ab}{4}$，
$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2} \cdot OA \cdot AD=\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{b}{2}=\frac{ab}{4}$，
∵ $S_{\text{四边形}ODBE}=S_{\text{矩形}ABCO}-S_{\triangle OCE}-S_{\triangle OAD}=9$，
∴ $ab-\frac{ab}{4}-\frac{ab}{4}=9$，即 $\frac{ab}{2}=9$，
∴ $k=\frac{ab}{2}=9$。
答案：
(2) $k=9$

2. 请借鉴以前研究函数的经验,探索函数$y= \frac {6}{x-1}+2$的图像和性质.
(1) 自变量$x$的取值范围为____;
(2) ① 填写下表,画出函数的图像:



② 观察图像,写出该函数

两

条

不

同

类

型

的性质.
(3) 若$x＞3$,则$y$的取值范围为____;若$y＜-1$,则$x$的取值范围为____.

答案：
(1) $x \neq 1$
(2) ① 0，5 
② 图像关于点$(1, 2)$中心对称；当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而减小
(3) $2 ＜ y ＜ 5$；$-1 ＜ x ＜ 1$