《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

7. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线,BE⊥AE,连接DE. 求证：AB= DE.

答案： 【解析】：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∠BAD=∠CAD=α，设∠BAC=2α。
∵AE平分∠BAF，∠BAF为∠BAC的外角，
∴∠BAF=180°-2α，∠BAE=∠EAF=90°-α。
∵∠BAD=α，∠BAE=90°-α，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=α+(90°-α)=90°，即AD⊥AE。
∵BE⊥AE，AD⊥AE，
∴AD//BE（垂直于同一直线的两直线平行）。
∵AD⊥BC，∠ADC=90°，∠EAF=90°-α，∠CAD=α，
∴∠EAC=∠EAF+∠CAD=90°-α+α=90°，即∠EAC=∠ADC=90°，
∴BE//AD（同位角相等，两直线平行），且∠AEB=∠DAE=90°，
∴四边形ADBE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
∵矩形的对边相等，
∴AB=DE。
【答案】：AB=DE

8. 如图,在四边形ABCD中,AB= DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC的中点.
(1)求证：四边形EGFH是菱形；
(2)已知AB= 1,∠ABC+∠DCB= 90°,求四边形EGFH的面积.

答案： 【解析】：
(1)
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB，EG//AB，
同理，HF是△ABC的中位线，
∴HF=$\frac{1}{2}$AB，HF//AB，
∴EG=HF，EG//HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵G、F分别是BD、BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=DC，
∴EG=GF，
∴平行四边形EGFH是菱形；
(2)
∵EG//AB，GF//CD，
∴∠EGF=∠ABC+∠DCB=90°，
∵AB=1，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∵四边形EGFH是菱形，∠EGF=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴四边形EGFH的面积=($\frac{1}{2}$)²=$\frac{1}{4}$。
【答案】：
(1)见解析；
(2)$\frac{1}{4}$

9. 如图,在四边形ABCD中,AB= BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.
(1)求证：∠ADB= ∠CDB；
(2)若∠ADC= 90°,求证：四边形MPND是正方形.

答案： 【解析】：
(1)
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。在△ABD和△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB。
(2)
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°。又
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形。
∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN，
∴矩形MPND是正方形。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)证明见解析