《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

10. 如图,在四边形ABCD中,BC= CD,∠C= 2∠BAD,O是四边形ABCD内一点,且OA= OB= OD. 求证：
(1)∠BOD= ∠C；
(2)四边形OBCD是菱形.

答案： 【解析】：（1）在四边形ABCD中，O是内一点且OA=OB=OD，所以点A、B、D在以O为圆心，OA为半径的圆上。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，∠BAD是圆周角，∠BOD是圆心角，且它们所对的弧都是弧BD，因此∠BOD=2∠BAD。又已知∠C=2∠BAD，所以∠BOD=∠C。
（2）由（1）知∠BOD=∠C，且BC=CD。因为OA=OB=OD，设OA=OB=OD=r。在△OBC和△ODC中，OB=OD=r，BC=CD，若能证明OC=OC（公共边）且∠BOC=∠DOC，则可证△OBC≌△ODC。由于点A、B、D共圆，设∠OAB=∠OBA=α，∠OAD=∠ODA=β，则∠BAD=α+β，∠BOD=2(α+β)=∠C。在四边形OBCD中，∠OBC=∠ABC - α，∠ODC=∠ADC - β，而∠ABC + ∠ADC = 360° - ∠BAD - ∠C = 360° - (α+β) - 2(α+β)=360° - 3(α+β)，所以∠OBC + ∠ODC=360° - 3(α+β) - (α+β)=360° - 4(α+β)，此思路复杂。换用构造法，以O为圆心OB为半径作圆，因OA=OB=OD，A、B、D在圆上，延长AO交圆于E，连接BE、DE，则∠BED=∠BAD，∠BOD=2∠BED=2∠BAD=∠C。又BC=CD，若OB=BC，OD=CD，则OB=BC=CD=OD，四边形OBCD四边相等为菱形。因OB=OD，BC=CD，△OBC≌△ODC（SSS），∠BOC=∠DOC，∠OBC=∠ODC。在△OBC中，OB=OD，若∠OBC=∠OCB，则OB=OC，同理OD=OC，所以OB=OC=OD，BC=CD，△OBC≌△ODC（SAS），∠BOC=∠DOC，∠OBC=∠ODC，又∠BOD=∠C，∠BOD=∠BOC+∠DOC=2∠BOC，∠C=∠BCD=∠BCO+∠DCO=2∠BCO，所以∠BOC=∠BCO，故OB=BC，同理OD=CD，又OB=OD，所以OB=BC=CD=OD，四边形OBCD是菱形。
【答案】：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形。

11. 四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE= AC.
(1)如图①,若∠ACB= 40°,求∠E的度数；
(2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证AF⊥FC.

答案：

解：$​(1)​$连接$​BD，$$​$与$​AC​$交于点$​O​$　　

∵四边形$​ABCD​$是矩形　　

∴$​AC=BD，$$​​OB=\frac 12BD，$$​​OC=\frac 12\ \mathrm {A}C​$　　

∴$​OB=OC，$$​$
∴$​∠DBC=∠ACB=40°​$　　

∵$​BE=AC，$$​$
∴$​BD=BE，$$​$
∴$​∠BDE=∠E​$　　

∴$​∠E=\frac 12×(180°-40°)=70°​$　　

证明：$​(2)​$延长$​CF {交}AD​$延长线于点$​G，$

　

∵$​AG//BE，$$​$
∴$​∠G DF=∠E，$$​​∠G=∠ECF​$　　

∵$​F ​$是$​DE​$的中点，
∴$​DF=EF，$$​$　　

∴$​∆DFG≌∆EF C(\mathrm {AAS})​$　　

∴$​DG=EC，$$​​GF=CF​$　　

∴$​BC+CE=AD+DG，$$​$即$​AG=BE​$　　

∵$​BE=AC，$$​$
∴$​AG=AC​$　　

又
∵$​GF=CF​$　　

∴$​AF⊥F C​$