《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

4. 定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫作筝形. 如图,筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC垂直平分BD.
(1)请结合图形,写出筝形两种不同类型的性质：
性质1：______；
性质2：______.
(2)若AB//CD,求证：筝形ABCD为菱形.

答案： （1）性质1：两组邻边分别相等（AB=AD，CB=CD）；
性质2：是轴对称图形（对称轴为AC所在直线）。
（2）证明：
∵AC垂直平分BD，
∴BO=DO，∠AOB=∠AOD=∠COB=∠COD=90°，AB=AD，CB=CD。
∵AB//CD，
∴∠ABO=∠CDO。
在△ABO和△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABO=∠CDO\\ BO=DO\\ ∠AOB=∠COD\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB=CD。
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴筝形ABCD为菱形。

5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,O是AB上一点,△DEF和△ABC关于点O对称,连接AF,CD.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC= 4,BC= 3,求四边形ACDF是菱形时AO的长.

答案： （1）证明：
∵△DEF和△ABC关于点O对称，
∴点A与点F关于点O对称，点C与点D关于点O对称，
∴OA=OF，OC=OD，
∴四边形ACDF是平行四边形。
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
∵四边形ACDF是菱形，
∴AC=CD。
∵△DEF和△ABC关于点O对称，
∴CD=2OC，BC=DE，∠ACB=∠FED=90°。
∵AC=4，
∴CD=4，
∴OC=2。
设AO=x，则OB=AB - AO=5 - x，
∵点O是AB中点时，OC=$\frac{1}{2}$AB=2.5，而OC=2＜2.5，
∴点O在靠近点A的一侧。
过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
则四边形OGCH是矩形，
∴OG=CH，OH=CG。
∵△AOG∽△ABC，
∴$\frac{OG}{BC}=\frac{AO}{AB}=\frac{AG}{AC}$，
即$\frac{OG}{3}=\frac{x}{5}=\frac{AG}{4}$，
∴OG=$\frac{3x}{5}$，AG=$\frac{4x}{5}$，
∴CG=AC - AG=4 - $\frac{4x}{5}$，CH=OG=$\frac{3x}{5}$，
∴OH=CG=4 - $\frac{4x}{5}$，BH=BC - CH=3 - $\frac{3x}{5}$。
在Rt△OCH中，OC²=OH² + CH²，
∴2²=(4 - $\frac{4x}{5}$)² + ($\frac{3x}{5}$)²，
解得x=$\frac{16}{5}$或x=$\frac{24}{5}$（舍去），
∴AO=$\frac{16}{5}$。

6. 如图,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN//BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE= OF；
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？

答案： （1）证明：
∵CE平分∠BCA，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∴∠ACE=∠OEC，
∴OE=OC，
同理，CF平分∠ACD，∠ACF=∠DCF，
∵MN//BC，
∴∠OFC=∠DCF，
∴∠ACF=∠OFC，
∴OF=OC，
∴OE=OF。
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
又
∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=1/2∠BCA，∠ACF=1/2∠ACD，
∵∠BCA+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACF=1/2(∠BCA+∠ACD)=90°，即∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形。