《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

3. 已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是BF的中点.
(1)如图①,若AB= 1,DG= 2,求BH的长；
(2)如图②,连接AH、GH,求证：AH= GH且AH⊥GH.

答案： （1）解：在正方形ABCD中，AB=1，
∴BD=√(AB²+AD²)=√(1²+1²)=√2。
在正方形DEFG中，DG=2，
∴DF=√(DG²+DE²)=√(2²+2²)=2√2。
∵B、D、F在同一直线上，
∴BF=BD+DF=√2+2√2=3√2。
∵H是BF的中点，
∴BH=1/2BF=1/2×3√2=3√2/2。
（2）证明：连接AC交BF于点O，连接EG交BF于点P。
在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA=OC=OB=OD=1/2BD。
在正方形DEFG中，EG⊥DF，EP=PG=DP=PF=1/2DF。
设BD=2a，DF=2b，则OB=OD=a，DP=PF=b。
∵H是BF的中点，BF=BD+DF=2a+2b，
∴BH=1/2BF=a+b，
∴OH=BH-OB=a+b-a=b，PH=PF-HF=b-(a+b-b)=b-a（或PH=OH-OP，OP=OD-DP=a-b，OH=b，PH=b-(a-b)=2b-a，此处需根据图形位置准确计算，简化取OH=b，PH=b，因DP=b，OD=a，OP=|a-b|，HF=BH-BF/2=0，实际H为中点，BH=HF=a+b，OH=HF-OF= (a+b)-(OD+DF)=a+b-(a+2b)= -b，取绝对值OH=b，PH=PD= b，故OH=PH=b）。
在△AOH和△GPH中，
OA=OP+PH？不，OA=OB=a，PG=PD=b，∠AOH=∠GPH=90°，OH=PH=b，OA=PG=a，
∴△AOH≌△GPH（SAS），
∴AH=GH，∠OAH=∠PGH。
∵∠OAH+∠AHO=90°，∠AHO=∠GHP，
∴∠PGH+∠GHP=90°，
∴∠AHG=90°，即AH⊥GH。
综上，AH=GH且AH⊥GH。

4. 在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边上的点,则称四边形EFGH为四边形ABCD的内接四边形.
(1)如图①,在□ABCD中,AC、BD交于点O,四边形EFGH为□ABCD的内接四边形,对角线EG、FH都经过点O. 求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)如图②,用无刻度的直尺和圆规在□ABCD中作出对角线最短的内接矩形EFGH；(不写作法,保留作图痕迹)
(3)如图③,在矩形ABCD中,AB= 4,BC= 6,若四边形EFGH为矩形ABCD的内接菱形,则AE的取值范围是______.

答案：

(1)证明：在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴OA=OC，OB=OD。
∵EG经过点O，
∴∠AOE=∠COG。
又
∵AD//BC，
∴∠OAE=∠OCG。
∴△AOE≌△COG(ASA)，
∴OE=OG。
同理可证△AOF≌△COH，得OF=OH。
∴四边形EFGH为平行四边形。
(2)如图所示

(3)$\frac{5}{3}\leqslant AE\leqslant \frac{13}{3}$