《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

6. 刘阿姨到超市购买大米.第一次按原价购买,用了$105$元.几天后,遇上这种大米$8$折出售,她用$140$元又买了一些,两次一共购买了$40$千克.这种大米的原价是多少?

答案： 解：设这种大米的原价是$x$元/千克，则打折后的价格是$0.8x$元/千克。
根据题意，得$\dfrac{105}{x} + \dfrac{140}{0.8x} = 40$。
解得$x = 7$。
经检验，$x = 7$是原方程的解，且符合题意。
答：这种大米的原价是$7$元/千克。

7. 某林场有一批造林任务,原任务由$35$人在一定时间内完成,实际造林时更换了劳动工具,使每个人的劳动效率都提高了$1$倍,现只派$20$人去工作,结果还提前$2$天完成任务.原计划多少天完成任务?

答案： 解：设原计划$x$天完成任务，每人每天的工作效率为$1$。
原任务总量为$35×1× x = 35x$。
实际每人每天效率提高$1$倍，即变为$2$，人数为$20$人，完成任务天数为$(x - 2)$天，实际任务总量为$20×2×(x - 2)=40(x - 2)$。
因为任务总量不变，所以$35x=40(x - 2)$。
$35x = 40x - 80$
$40x - 35x = 80$
$5x = 80$
$x = 16$
答：原计划$16$天完成任务。

8. 已知反比例函数$y_{1}= \frac {k}{x}$($k$为常数,且$k≠0$)的图像与一次函数$y_{2}= x+1的图像的一个交点的横坐标是-3$.
(1) 求$k$的值;
(2) 当$y_{1}＜-1$时,则$x$的取值范围是____;
(3)$A(2m,y_{1})$、$B(m,y_{2})$是该反比例函数图像上的点,且$y_{1}＜y_{2}$,则$m$的取值范围是____.

答案：
(1) 解：将$x=-3$代入$y_{2}=x+1$，得$y_{2}=-3+1=-2$，则交点坐标为$(-3,-2)$。把$(-3,-2)$代入$y_{1}=\frac{k}{x}$，得$-2=\frac{k}{-3}$，解得$k=6$。
(2) $ -6 ＜ x ＜ 0 $
(3) 解：因为$A(2m,y_{1})$、$B(m,y_{2})$在反比例函数$y_{1}=\frac{6}{x}$图像上，所以$y_{1}=\frac{6}{2m}=\frac{3}{m}$，$y_{2}=\frac{6}{m}$。由$y_{1}＜y_{2}$，得$\frac{3}{m}＜\frac{6}{m}$。当$m＞0$时，不等式两边同乘$m$，$3＜6$成立；当$m＜0$时，不等式两边同乘$m$，$3＞6$不成立，故$m＞0$。

9. 如图,在直角坐标系中,矩形$OABC的顶点O$与坐标原点重合,顶点$A$、$C$分别在坐标轴上,顶点$B坐标为(4,2)$.过点$D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB$、$BC交于点M$、$N$.
(1) 求直线$DE所表达的函数关系式和点M$的坐标;
(2) 若反比例函数$y= \frac {m}{x}(x＞0)的图像经过点M$,求该反比例函数的表达式,并通过计算判断点$N$是否在该函数的图像上;
(3) 若反比例函数$y= \frac {m}{x}(x＞0)的图像与\triangle MNB$有公共点,请直接写出$m$的取值范围.

答案：
(1) 设直线$DE$的函数表达式为$y=kx+b$，
∵点$D(0,3)$、$E(6,0)$在直线上，
∴$\begin{cases} 3=b \\ 0=6k+b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{2} \\ b=3 \end{cases}$，
∴直线$DE$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
∵四边形$OABC$是矩形，$B(4,2)$，点$M$在$AB$边上，
∴点$M$的纵坐标为$2$，
又
∵点$M$在直线$y=-\frac{1}{2}x+3$上，
∴$2=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=2$，
∴$M(2,2)$。
(2)
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$经过点$M(2,2)$，
∴$m=2×2=4$，
∴反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
∵点$N$在$BC$边上，$B(4,2)$，
∴点$N$的横坐标为$4$，
又
∵点$N$在直线$y=-\frac{1}{2}x+3$上，
∴$y=-\frac{1}{2}×4+3=1$，
∴$N(4,1)$。
当$x=4$时，$y=\frac{4}{x}=1$，
∴点$N$在函数$y=\frac{4}{x}$的图像上。
(3) $4 \leq m \leq 8$。