《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

9. 如图2-9,矩形ABCD中,点E在边AB上,将一边AD折叠,使点A恰好落在边BC的点F处,折痕为DE,若AB= 8,BF= 4,则ED= ______cm.

答案： $5\sqrt{5}$

10. 如图2-10,菱形ABCD的面积为$120cm^2,$正方形AECF的面积为$50cm^2,$则菱形的边长为______cm.

答案： 13

11. 如图2-11,在□ABCD中,点D是定点,点A、C是直线$l_1$和$l_2$上两动点$,l_1//l_2,$且点D到直线$l_1$和$l_2$的距离分别是1和4,则对角线BD长度的最小值______.

答案： 5

1. 如图,在□ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且AE= CF,EF、BD相交于点O. 求证：OE= OF.

答案： 【解析】：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AD//BC。又因为AE=CF，所以AD - AE = BC - CF，即DE=BF。由于AD//BC，所以∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB。在△ODE和△OBF中，有∠ODE=∠OBF，DE=BF，∠OED=∠OFB，根据角边角（ASA）全等判定定理，可得△ODE≌△OBF，因此OE=OF。
【答案】：OE=OF

2. 如图,在四边形ABCD中,点E、F是对角线BD上的两点,且BE= DF. 若四边形AECF是平行四边形,求证：四边形ABCD是平行四边形.

答案： 【解析】：连接AC，交BD于点O。
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF（平行四边形对角线互相平分）。
∵BE=DF，
∴BE+OE=DF+OF，即OB=OD。
∵OA=OC且OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】：四边形ABCD是平行四边形。

3. 证明：三角形中位线定理.
已知：如图,DE是△ABC的中位线.
求证：______.
证明：

答案： 【解析】：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF。
∵E是AC的中点，
∴AE=CE。
在△ADE和△CFE中，
∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，
∴△ADE≌△CFE（SAS）。
∴AD=CF，∠ADE=∠F。
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF。
∵∠ADE=∠F，
∴AB//CF（内错角相等，两直线平行），即BD//CF。
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴DF=BC，DF//BC（平行四边形对边平行且相等）。
∵DE=EF，
∴DE=1/2DF，
∴DE=1/2BC，且DE//BC。
【答案】：DE//BC且DE=1/2BC