《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

1. 在□ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)□ABCD应满足什么条件时,四边形EHFG是矩形？并说明理由；
(3)□ABCD应满足什么条件时,四边形EHFG是正方形？(不要求说明理由).

答案： 【解析】：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=BE=1/2AB，CF=DF=1/2CD，
∴AE=CF，BE=DF。
∵AB//CD，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AF//CE，即GF//EH。
同理，四边形BFDE是平行四边形，
∴BF//DE，即HF//EG。
∴四边形EHFG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2)当□ABCD是矩形时，四边形EHFG是矩形。理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°。
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=CF，BC=BC，
∴△BEC≌△CFB（SAS），
∴∠BEC=∠CFB。
∵AB//CD，
∴∠BEC=∠ECF，
∴∠CFB=∠ECF，
∴EH=FH（等角对等边）。
∵四边形EHFG是平行四边形，且EH=FH，
∴四边形EHFG是菱形。
又
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵E是AB中点，设AB=2a，BC=b，则BE=a，
在Rt△BEC中，EC=√(BE²+BC²)=√(a²+b²)，
同理BF=√(a²+b²)，
∴EC=BF，
∵四边形EHFG是平行四边形，
∴EG=HF，GF=EH，
又
∵AF//CE，BF//DE，
∴G、H分别是AF、BF的中点（三角形中位线定理的推论），
∴EG=1/2DE，HF=1/2BF，
∵DE=BF（矩形对边相等，且E、F是中点，可证△ADE≌△BCF），
∴EG=HF，
同理GF=EH，
∴四边形EHFG是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
（注：此处原解析思路有误，正确思路应为：当□ABCD是矩形时，DE⊥AF，因为AD=BC，AE=CF，∠DAE=∠BCF=90°，所以△ADE≌△CBF，∠AED=∠CFB，又因为∠CFB=∠ABF，所以∠AED=∠ABF，因为∠AED+∠ADE=90°，所以∠ABF+∠ADE=90°，所以∠EGF=90°，因为四边形EHFG是平行四边形，所以是矩形。）
正确理由：当□ABCD是矩形时，AD⊥AB，
∵E、F分别是AB、CD中点，
∴AE=DF，AD=AD，∠DAE=∠ADF=90°，
∴△ADE≌△DAF（SAS），
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠DAF+∠GAD=90°，
∴∠ADE+∠GAD=90°，
∴∠AGD=90°，即∠EGF=90°，
∵四边形EHFG是平行四边形，
∴四边形EHFG是矩形。
(3)当□ABCD是正方形时，四边形EHFG是正方形，因为正方形既是矩形又是菱形，结合
(2)可知此时四边形EHFG既是矩形又是菱形，所以是正方形。
【答案】：
(1)见解析；
(2)矩形；
(3)正方形

2. 如图,AB//CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF,∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证：四边形EGFH是矩形；
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,过点G作MN//EF,分别交AB、CD于点M、N,过点H作PQ//EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP,此时,他猜想四边形MNQP是菱形,请在下列框中补全他的证明思路.
由AB//CD,MN//EF,PQ//EF,易证四边形MNQP是平行四边形,要证□MNQP是菱形,只要证MN= NQ,由已知条件______,MN//EF,故只要证GM= FQ,即证△MGE≌△QFH,易证______,______,故只要证∠MGE= ∠QFH,易证∠MGE= ∠GEF,∠QHF= ∠EFH,______,即可得证.

答案： （1）证明：
∵AB//CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，∠BEF+∠DFE=180°．
∵EG平分∠AEF，FG平分∠CFE，
∴∠GEF=1/2∠AEF，∠GFE=1/2∠CFE，
∴∠GEF+∠GFE=1/2(∠AEF+∠CFE)=90°，
∴∠G=90°．
同理可证∠H=90°．
∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠HEF=1/2∠BEF，∠HFE=1/2∠DFE，
∴∠HEF+∠HFE=1/2(∠BEF+∠DFE)=90°，
∴∠EHF=90°．
∵∠GEF+∠HEF=1/2(∠AEF+∠BEF)=90°，
∴∠GEH=90°，
∴四边形EGFH是矩形．
（2）FG平分∠CFE；GE=FH；∠GME=∠FQH；∠GEF=∠EFH