《2025年愉快的暑假南京出版社八年级》

10. 某校八年级学生到距学校$15$km的医院体检,一部分学生骑车先行出发,$40$min后,另一部分学生乘坐公交车前往,汽车速度是自行车速度的$3$倍,结果两部分学生同时到达医院.
(1) 用含$x$的代数式填表(结果不需要化简):

(2) 求(1)的表格中的$x$的值.

答案：
(1) $\frac{15}{x}$，$3×\frac{15}{x}$，$x - \frac{2}{3}$
(2) 解：由题意得，$\frac{15}{3×\frac{15}{x}} = x - \frac{2}{3}$
化简得：$\frac{x}{3} = x - \frac{2}{3}$
移项得：$x - \frac{x}{3} = \frac{2}{3}$
合并同类项得：$\frac{2x}{3} = \frac{2}{3}$
解得：$x = 1$
答：$x$的值为1。

11. 某校八年级两个班各为玉树地震灾区捐款$1800$元.已知(2)班比(1)班人均捐款多$4$元,(2)班的人数比(1)班少$10\%$.根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.你提出的问题是:____.

答案： 问题：求两个班人均捐款各多少元？
解：设
(1)班人均捐款$x$元，则
(2)班人均捐款$(x + 4)$元。
(1)班人数为$\frac{1800}{x}$，
(2)班人数为$\frac{1800}{x + 4}$。
依题意，$\frac{1800}{x + 4} = \frac{1800}{x} × (1 - 10\%)$
即$\frac{1800}{x + 4} = \frac{1620}{x}$
交叉相乘得：$1800x = 1620(x + 4)$
$1800x = 1620x + 6480$
$180x = 6480$
$x = 36$
经检验，$x = 36$是原方程的解，且符合题意。
$x + 4 = 40$
答：
(1)班人均捐款36元，
(2)班人均捐款40元。
问题：求两个班人数各多少人？
解：设
(1)班有$y$人，则
(2)班有$0.9y$人。
(1)班人均捐款$\frac{1800}{y}$元，
(2)班人均捐款$\frac{1800}{0.9y}$元。
依题意，$\frac{1800}{0.9y} - \frac{1800}{y} = 4$
即$\frac{2000}{y} - \frac{1800}{y} = 4$
$\frac{200}{y} = 4$
$y = 50$
经检验，$y = 50$是原方程的解，且符合题意。
$0.9y = 45$
答：
(1)班有50人，
(2)班有45人。

12. 观察下列各式:
$\sqrt {2-\frac {2}{5}}= \sqrt {\frac {8}{5}}= 2\sqrt {\frac {2}{5}}$,即$\sqrt {2-\frac {2}{5}}= 2\sqrt {\frac {2}{5}}$;
$\sqrt {3-\frac {3}{10}}= \sqrt {\frac {27}{10}}= 3\sqrt {\frac {3}{10}}$,即$\sqrt {3-\frac {3}{10}}= 3\sqrt {\frac {3}{10}}$;
$\sqrt {4-\frac {4}{17}}= \sqrt {\frac {64}{17}}= 4\sqrt {\frac {4}{17}}$,即$\sqrt {4-\frac {4}{17}}= 4\sqrt {\frac {4}{17}}$.
(1) 根据你发现的规律填空:
$\sqrt {5-\frac {5}{26}}= $____= ____,即$\sqrt {5-\frac {5}{26}}= $____;
(2) 猜想$\sqrt {n-\frac {n}{n^{2}+1}}$($n≥2$,$n$为自然数)等于什么,验证你的猜想.

答案：
(1) $\sqrt{\frac{125}{26}}$，$5\sqrt{\frac{5}{26}}$，$5\sqrt{\frac{5}{26}}$
(2) 猜想：$\sqrt{n - \frac{n}{n^{2} + 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^{2} + 1}}$
验证：左边$= \sqrt{\frac{n(n^{2} + 1) - n}{n^{2} + 1}} = \sqrt{\frac{n^{3} + n - n}{n^{2} + 1}} = \sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2} + 1}} = n\sqrt{\frac{n}{n^{2} + 1}}$，右边$= n\sqrt{\frac{n}{n^{2} + 1}}$，左边=右边，猜想成立。