《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学、物理、生物学合订本》

17. 浮式起重机又称起重船,它可以利用船体提供的浮力和船上的起重系统来完成起吊作业。如图 4 - 13 甲是某起重船,图 4 - 13 乙是它的简化示意图。$OB$是起重臂,向上提升重物时,起重臂$OB$保持静止,通过固定在$B$点的绞车(图中未画出)回收钢缆,将重物吊起。(不计起重臂、绞车和钢缆的重力,不计摩擦,$ρ_{海水}= 1.0×10^{3}kg/m^{3}$,$g$取 10 N/kg)
(1)如图 4 - 13 乙所示,某次模拟打捞作业时,密闭长方体实验模型底部嵌入海底淤泥中,顶部到海面的距离为 100 m,则海水对实验模型顶部的压强为$1.0×10^{6}Pa$?
(2)该实验模型的长为 5 m,宽为 4 m,高为 5 m,总质量为 600 t。起吊前,先向船舱中注入适量的水,再将钢缆紧紧地连接到绞车上。接着逐渐排出船舱中的水并保持吃水深度不变,当钢缆刚好能拉动实验模型时,停止排水。问:此时钢缆对实验模型的拉力为$2.6×10^{7}N$?
(3)为了使实验模型脱离淤泥,起重船至少需要向外排出多少立方米的海水?$2.6×10^{3}m^{3}$

答案：
(1) 密闭长方体实验模型顶部到海面的距离为 100 m，则海水对实验模型顶部的压强
$p = \rho_{海水}gh = 1.0×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×100m = 1.0×10^{6}Pa$。
(2) 模型顶部的面积
$S = 5m×4m = 20m^{2}$，
受到海水的压力
$F = pS = 1.0×10^{6}Pa×20m^{2} = 2×10^{7}N$；
模型总质量
$m = 600t = 6×10^{5}kg$，
则重力
$G = mg = 6×10^{5}kg×10N/kg = 6×10^{6}N$；
当钢缆刚好能拉动模型时，海底淤泥对模型的支撑力为零，模型受力平衡，由于模型陷入海底淤泥中，所以不受浮力作用，即钢缆对模型的拉力
$F_{拉} = F + G = 2×10^{7}N + 6×10^{6}N = 2.6×10^{7}N$。
(3) 由于起重船的船身稳定且吃水深度保持不变，则起重船受到浮力不变，则排出船舱中水的重力等于钢缆的拉力，所以
$G_{排} = F_{拉} = 2.6×10^{7}N$，
则 $m_{排} = \frac{G_{排}}{g} = \frac{2.6×10^{7}N}{10N/kg} = 2.6×10^{6}kg$；
由密度公式可知，排开的海水的体积
$V_{排} = \frac{m_{排}}{\rho_{海水}} = \frac{2.6×10^{6}kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}} = 2.6×10^{3}m^{3}$。