《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学、物理、生物学合订本》

12. 已知$a^{2} + 2ab + b^{2} = 0$,求代数式$a(a + 4b) - (a + 2b)(a - 2b)$的值．

答案： $ a(a + 4b) - (a + 2b)(a - 2b) = a^{2} + 4ab - (a^{2} - 4b^{2}) = 4ab + 4b^{2} $. $ \because a^{2} + 2ab + b^{2} = 0 $, $ \therefore (a + b)^{2} = 0 $, $ \therefore a + b = 0 $, $ \therefore $ 原式 $ = 4b(a + b) = 4b \cdot 0 = 0 $.

13. 已知$a$,$b$,$c是\triangle ABC$三边的长,且满足$a^{2} + 2b^{2} + c^{2} - 2b(a + c) = 0$,试判断此三角形的形状．

答案： $ \because a^{2} + 2b^{2} + c^{2} - 2b(a + c) = 0 $, $ \therefore a^{2} + b^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc = 0 $, $ \therefore a^{2} - 2ab + b^{2} + b^{2} - 2bc + c^{2} = 0 $, 即 $ (a - b)^{2} + (b - c)^{2} = 0 $. $ \because (a - b)^{2} \geq 0 $, $ (b - c)^{2} \geq 0 $, $ \therefore a - b = 0 $, $ b - c = 0 $, $ \therefore a = b = c $, $ \therefore \triangle ABC $ 是等边三角形.

14. 如图4-1①是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形,沿图中虚线平均分成四个小长方形,然后按图4-1②所示的形状拼成一个正方形．
(1)图4-1②中的阴影部分面积为______$(m - n)^{2}$；
(2)观察图4-1②,请你写出三个代数式$(m + n)^{2}$,$(m - n)^{2}$,$mn$之间的等量关系；
$(m + n)^{2} = (m - n)^{2} + 4mn$
(3)若$x + y = -6$,$xy = 2.75$,利用(2)中的等量关系计算$x - y$的值．
$(x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4xy = 36 - 11 = 25$，则$x - y = 5$或$x - y = -5$

答案：
(1) $ (m - n)^{2} $
(2) $ (m + n)^{2} = (m - n)^{2} + 4mn $.
(3) $ (x - y)^{2} = (x + y)^{2} - 4xy = 36 - 11 = 25 $, 则 $ x - y = 5 $ 或 $ x - y = -5 $.