《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学、物理、生物学合订本》

8. 如图 10, 已知矩形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $O$, $\angle ACB = 30^{\circ}$, $AB = \sqrt{3}$.
(1) 求 $AC$ 的长;$2\sqrt{3}$
(2) 求 $\angle AOB$ 的度数.$60^{\circ}$

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC = 90°。又
∵ ∠ACB = 30°，AB = √3，
∴ AC = 2AB = 2√3。
(2)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AO = OB = √3。又
∵ AB = √3，
∴ △AOB是等边三角形，
∴ ∠AOB = 60°。

9. 如图 11, 在菱形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$, $E$ 是 $CD$ 的中点, 连接 $OE$; 过点 $C$ 作 $CF // BD$ 交 $OE$ 的延长线于点 $F$, 连接 $DF$. 求证:
(1) $\triangle ODE \cong \triangle FCE$;
证明：∵ CF // BD，∴ ∠ODE = ∠FCE。∵ E是CD的中点，∴ CE = DE。在△ODE和△FCE中，∠ODE = ∠FCE，DE = CE，∠DEO = ∠CEF，∴ △ODE ≌ △FCEASA。
(2) 四边形 $OCFD$ 是矩形.
证明：∵ △ODE ≌ △FCE，∴ OD = FC。∵ CF // BD，∴ 四边形OCFD是平行四边形。∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC ⊥ BD，∴ ∠COD = 90°，∴ 四边形OCFD是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形。

答案：
(1)
∵ CF // BD，
∴ ∠ODE = ∠FCE。
∵ E是CD的中点，
∴ CE = DE。在△ODE和△FCE中，∠ODE = ∠FCE，DE = CE，∠DEO = ∠CEF，
∴ △ODE ≌ △FCE(ASA)。
(2)
∵ △ODE ≌ △FCE，
∴ OD = FC。
∵ CF // BD，
∴ 四边形OCFD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC ⊥ BD，
∴ ∠COD = 90°，
∴ 四边形OCFD是矩形。