《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学、物理、生物学合订本》

13. 如图6-11,等边三角形$ABC$的边长是2,$D$,$E分别为AB$,$AC$的中点,延长$BC至点F$,使$CF= \frac{1}{2}BC$,连接$CD和EF$.
(1)求证:四边形$CDEF$是平行四边形;
证明：∵ $ D $，$ E $ 分别为 $ A B $，$ A C $ 的中点，∴ $ D E // B C $，$ D E = \frac { 1 } { 2 } B C $。∵ $ C F = \frac { 1 } { 2 } B C $，∴ $ D E = C F $，∴ 四边形 $ C D E F $ 是平行四边形。
(2)求四边形$BDEF$的周长;
解：∵ 四边形 $ C D E F $ 是平行四边形，∴ $ D C = E F $。∵ $ D $ 为 $ A B $ 的中点，等边三角形 $ A B C $ 的边长是 2，∴ $ A D = B D = 1 $，$ C D \perp A B $，$ B C = 2 $，∴ $ D C = E F = \sqrt { 2 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } $，∴ 四边形 $ B D E F $ 的周长是$5 + \sqrt { 3 }$。
(3)求四边形$CDEF$的面积.
解：过点 $ D $ 作 $ D H \perp B C $ 于 $ H $。∵ $ \angle D H C = 90 ^ { \circ } $，$ \angle D C B = 30 ^ { \circ } $，∴ $ D H = \frac { 1 } { 2 } D C = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $。∵ $ D E = C F = 1 $，∴ $ S _ { \text { 四边形 } C D E F } = C F \cdot D H = 1 × \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = $$\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$。

答案：
(1)
∵ $ D $，$ E $ 分别为 $ A B $，$ A C $ 的中点，
∴ $ D E // B C $，$ D E = \frac { 1 } { 2 } B C $。
∵ $ C F = \frac { 1 } { 2 } B C $，
∴ $ D E = C F $，
∴ 四边形 $ C D E F $ 是平行四边形。
(2)
∵ 四边形 $ C D E F $ 是平行四边形，
∴ $ D C = E F $。
∵ $ D $ 为 $ A B $ 的中点，等边三角形 $ A B C $ 的边长是 2，
∴ $ A D = B D = 1 $，$ C D \perp A B $，$ B C = 2 $，
∴ $ D C = E F = \sqrt { 2 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } $，
∴ 四边形 $ B D E F $ 的周长是 $ 1 + 1 + 2 + 1 + \sqrt { 3 } = 5 + \sqrt { 3 } $。
(3) 过点 $ D $ 作 $ D H \perp B C $ 于 $ H $。
∵ $ \angle D H C = 90 ^ { \circ } $，$ \angle D C B = 30 ^ { \circ } $，
∴ $ D H = \frac { 1 } { 2 } D C = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $。
∵ $ D E = C F = 1 $，
∴ $ S _ { \text { 四边形 } C D E F } = C F \cdot D H = 1 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $。

14. 如图6-12,以$BC为底边的等腰三角形ABC$,点$D$,$E$,$G分别在BC$,$AB$,$AC$上,且$EG// BC$,$DE// AC$,延长$GE至点F$,使得$BE= BF$.
(1)求证:四边形$BDEF$为平行四边形;
(2)当$∠C= 45^{\circ}$,$BD= 2$时,求$D$,$F$两点间的距离为$\sqrt{10}$.

答案：
(1)
∵ $ \triangle A B C $ 是以 $ B C $ 为底边的等腰三角形，
∴ $ \angle A B C = \angle C $。
∵ $ E G // B C $，$ D E // A C $，
∴ $ \angle A E G = \angle A B C = \angle C $，四边形 $ C D E G $ 是平行四边形，
∴ $ \angle D E G = \angle C $。
∵ $ B E = B F $，
∴ $ \angle B F E = \angle B E F = \angle A E G = \angle A B C $，
∴ $ \angle B F E = \angle D E G $，
∴ $ B F // D E $，
∴ 四边形 $ B D E F $ 为平行四边形。
(2)
∵ $ \angle C = 45 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle A B C = \angle B F E = \angle B E F = 45 ^ { \circ } $，
∴ $ \triangle B D E $ 和 $ \triangle B E F $ 都是等腰直角三角形，
∴ $ B F = B E = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } B D = \sqrt { 2 } $。作 $ F M \perp B D $ 于 $ M $，连接 $ D F $，则 $ \triangle B F M $ 是等腰直角三角形，
∴ $ F M = B M = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } B F = 1 $，
∴ $ D M = 3 $。在 $ \mathrm { Rt } \triangle D F M $ 中，由勾股定理，得 $ D F = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = \sqrt { 10 } $，即 $ D $，$ F $ 两点间的距离为 $ \sqrt { 10 } $。