《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学、物理、生物学合订本》

11. 计算：
(1)$ \frac{a - 1}{a^{2} - 4a + 4} ÷ \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 4} $；
(2)$ \frac{2a}{a^{2} - 4} - \frac{1}{a - 2} $。

答案：
(1) 原式 $ = \frac{a - 1}{(a - 2)^2} \cdot \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a + 2}{(a + 1)(a - 2)} $。
(2) 原式 $ = \frac{2a}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{2a - a - 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{a + 2} $。

12. 解下列分式方程：
(1)$ \frac{100}{x} = \frac{30}{x + 7} $；
解：方程两边都乘 $ x(x + 7) $，得 $ 100x + 700 = 30x $。解这个一元一次方程，得 $ x = $-10。检验：把 $ x = -10 $ 代入原方程，左边 = 右边。∴ $ x = -10 $ 是原方程的根。
(2)$ \frac{7 - 9x}{2 - 3x} - \frac{4x - 5}{2 - 3x} = 1 $。
解：方程两边都乘 $ (2 - 3x) $，得 $ (7 - 9x) - (4x - 5) = 2 - 3x $。整理，得 $ 10x = 10 $。解这个一元一次方程，得 $ x = $1。检验：把 $ x = 1 $ 代入原方程，左边 = 右边。∴ $ x = 1 $ 是原方程的根。

答案：
(1) 方程两边都乘 $ x(x + 7) $，得 $ 100x + 700 = 30x $。解这个一元一次方程，得 $ x = -10 $。检验：把 $ x = -10 $ 代入原方程，左边 = 右边。
∴ $ x = -10 $ 是原方程的根。
(2) 方程两边都乘 $ (2 - 3x) $，得 $ (7 - 9x) - (4x - 5) = 2 - 3x $。整理，得 $ 10x = 10 $。解这个一元一次方程，得 $ x = 1 $。检验：把 $ x = 1 $ 代入原方程，左边 = 右边。
∴ $ x = 1 $ 是原方程的根。

13. 在“母亲节”前,某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花,销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大,店主决定将玫瑰每枝降价 1 元促销,降价后 30 元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的 1.5 倍。
(1)求降价后每枝玫瑰的售价是多少元。
(2)根据销售情况,店主用不多于 900 元的资金再次购进两种鲜花共 500 枝,康乃馨进价为 2 元/枝,玫瑰进价为 1.5 元/枝,问：至少购进玫瑰多少枝？

答案：
(1) 设降价后每枝玫瑰的售价是 $ x $ 元，依题意，得 $ \frac{30}{x} = \frac{30}{x + 1} \times 1.5 $。解得 $ x = 2 $。经检验，$ x = 2 $ 是原方程的解。所以降价后每枝玫瑰的售价是 2 元。
(2) 设购进玫瑰 $ y $ 枝，依题意，得 $ 2(500 - y) + 1.5y \leq 900 $。解得 $ y \geq 200 $。所以至少购进玫瑰 200 枝。