《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学、物理、生物学合订本》

7. 如图 4, 四边形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$, 且点 $O$ 是 $BD$ 的中点. 若 $AB = AD = 5$, $BD = 8$, $\angle ABD = \angle CDB$, 则四边形 $ABCD$ 的面积为______24.

答案： 24

8. 如图 5, $AC$ 是菱形 $ABCD$ 的对角线, 点 $E$, $F$ 分别在边 $AB$, $AD$ 上, 且 $AE = AF$.
(1) 求证: $\triangle BEC \cong \triangle DFC$;
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，∠B = ∠D。∵ AE = AF，∴ BE = DF，∴ △BEC ≌ △DFC(SAS)。
(2) 若 $AC = AB = 3$, $E$ 为 $AB$ 的中点, 求 $CE$ 的值.
解：∵ AC = AB = 3，AB = BC，∴ △ABC是等边三角形。∵ 点E为AB的中点，∴ CE ⊥ AB，∴ CE = √3BE = √3×3/2 = 3√3/2。

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，∠B = ∠D。
∵ AE = AF，
∴ BE = DF，
∴ △BEC ≌ △DFC(SAS)。
(2)
∵ AC = AB = 3，AB = BC，
∴ △ABC是等边三角形。
∵ 点E为AB的中点，
∴ CE ⊥ AB，
∴ CE = √3BE = √3×3/2 = 3√3/2。

9. 如图 6, 已知 $BD$ 是长方形 $ABCD$ 的对角线.
(1) 用直尺和圆规作线段 $BD$ 的垂直平分线, 分别交 $AD$, $BC$ 于点 $E$, $F$ (保留作图痕迹, 不写作法和证明).
(2) 连接 $BE$, $DF$, 问: 四边形 $BEDF$ 是什么四边形? 请说明理由.

答案：

(1)如下图所示,EF为所求直线
　　　　　　
(2)四边形BEDF为菱形。理由如下:
∵ EF垂直平分BD，
∴ BE = DE，∠DEF = ∠BEF；
∵ AD // BC，
∴ ∠DEF = ∠BFE，
∴ ∠BEF = ∠BFE，
∴ BE = BF。
∵ BF = DF，
∴ BE = ED = DF = BF，
∴ 四边形BEDF为菱形。