《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学、物理、生物学合订本》

13. 如图 3 - 10,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle ADC = \angle B = 90^{\circ} $,$ DE \perp AB $,垂足为 $ E $,$ AD = CD $,且 $ DE = BE = 5 $,请用旋转图形的方法求四边形 $ ABCD $ 的面积.

答案：
把 $Rt\triangle DEA$ 绕 $D$ 点按逆时针旋转 $90^{\circ}$，如下图。$\because AD = CD$，$\therefore A$ 与 $C$ 重合，$\therefore \angle A = \angle DCE'$，$\angle E' = \angle AED = 90^{\circ}$。在四边形 $ABCD$ 中，$\because \angle ADC = \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore \angle A + \angle DCB = 180^{\circ}$，$\therefore \angle DCE' + \angle DCB = 180^{\circ}$，即点 $B$，$C$，$E'$ 在同一直线上。$\because \angle DEB = \angle E' = \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore$ 四边形 $DEBE'$ 是长方形，$\therefore S_{长方形DEBE'} = DE \times BE = 5 \times 5 = 25$。$\because S_{长方形DEBE'} = S_{四边形DEBC} + S_{\triangle DCE'}$，$S_{四边形ABCD} = S_{四边形DEBC} + S_{\triangle ADE} = S_{四边形DEBC} + S_{\triangle DCE'}$，

$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{长方形DEBE'} = 25$。

14. 操作发现
将一副直角三角板如图 3 - 11①摆放,能够发现等腰直角三角板 $ ABC $ 的斜边 $ BC $ 与 $ 30^{\circ} $ 角的直角三角板 $ DEF $ 的长直角边 $ DE $ 重合.
问题解决
将图 3 - 11①中的等腰三角板 $ ABC $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 30^{\circ} $,点 $ C $ 落在 $ BF $ 上.$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ O $,连接 $ CD $,如图 3 - 11②.
(1) 求证:$ \triangle CDO $ 是等腰三角形;
证明：等腰三角板 $ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $30^{\circ}$，$\therefore BC = DE$，$\angle DEF = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BDC = \angle BCD$。$\therefore \angle BDC = \angle BCD = \frac{180^{\circ} - \angle DBC}{2} = 75^{\circ}$。$\because \angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle DOC = \angle OBC + \angle OCB$，$\therefore \angle DOC = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$。$\therefore \angle COD = \angle BDC$。$\therefore \triangle CDO$ 是等腰三角形。
(2) 若 $ DF = 2\sqrt{3} $,求 $ AC $ 的长.
解：在 $Rt\triangle BDF$ 中，$DF = 2\sqrt{3}$，$BD = \sqrt{3} × 2\sqrt{3} = 6$。$\therefore BC = BD = 6$。在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC = \frac{\sqrt{2}}{2} × 6 = $$3\sqrt{2}$。

答案：
(1) 等腰三角板 $ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $30^{\circ}$，$\therefore BC = DE$，$\angle DEF = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BDC = \angle BCD$。$\therefore \angle BDC = \angle BCD = \frac{180^{\circ} - \angle DBC}{2} = 75^{\circ}$。$\because \angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle DOC = \angle OBC + \angle OCB$，$\therefore \angle DOC = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$。$\therefore \angle COD = \angle BDC$。$\therefore \triangle CDO$ 是等腰三角形。
(2) 在 $Rt\triangle BDF$ 中，$DF = 2\sqrt{3}$，$BD = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 6$。$\therefore BC = BD = 6$。在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 6 = 3\sqrt{2}$。