《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

24. (10分)如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 70^{\circ}$,$BP是\angle ABC$的平分线,$CP是\angle ACD$的平分线。
(1)求$\angle P$的度数；
(2)如图2,过点$P作EF// BC$,分别与边$AB$,$AC相交于点E$,$F$,判断线段$BE$,$EF$,$CF$之间的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)因为$BP$是$\angle ABC$的平分线,$CP$是$\angle ACD$的平分线,所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC$,$\angle PCD=\frac{1}{2}\angle ACD$,所以$\angle P=\angle PCD-\angle PBD=\frac{1}{2}\angle ACD-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(\angle ACD-\angle ABC)=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}× 70^{\circ}=35^{\circ}$.
(2)$BE=EF+CF$.理由如下:因为$BP$是$\angle ABC$的平分线,$CP$是$\angle ACD$的平分线,所以$\angle ABP=\angle PBD$,$\angle ACP=\angle PCD$.因为$EF// BC$,所以$\angle EPB=\angle PBD$,$\angle EPC=\angle PCD$,所以$\angle ABP=\angle EPB$,$\angle ACP=\angle EPC$,所以$BE=PE$,$CF=PF$.因为$PE=EF+PF$,所以$BE=EF+CF$.

25. (10分)如图,在锐角三角形$ABC$中,$CD$,$BE分别是边AB$,$AC$上的高,$M$,$N分别是线段BC$,$DE$的中点。
(1)求证：$MN\perp DE$；
(2)若$\angle ABC= 70^{\circ}$,$\angle ACB= 50^{\circ}$,连接$DM$,$ME$,求$\angle DME$的度数；
(3)猜想$\angle DME与\angle A$之间的关系,并说明理由。

答案：
(1)证明:连接$DM$,$ME$.因为$CD$,$BE$分别是边$AB$,$AC$上的高,$M$是$BC$的中点,所以$DM=\frac{1}{2}BC$,$ME=\frac{1}{2}BC$,所以$DM=ME$.因为$N$为$DE$的中点,所以$MN\perp DE$.
(2)解:由
(1)知,$DM=ME=BM=MC$,所以$\angle BMD+\angle CME=(180^{\circ}-2\angle ABC)+(180^{\circ}-2\angle ACB)=360^{\circ}-2(\angle ABC+\angle ACB)=120^{\circ}$,所以$\angle DME=180^{\circ}-(\angle BMD+\angle CME)=60^{\circ}$.
(3)解:$\angle DME=180^{\circ}-2\angle A$.理由如下:在$\triangle ABC$中,$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A$.因为$DM=ME=BM=MC$,所以$\angle BMD+\angle CME=(180^{\circ}-2\angle ABC)+(180^{\circ}-2\angle ACB)=360^{\circ}-2(\angle ABC+\angle ACB)=360^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle A)=2\angle A$,所以$\angle DME=180^{\circ}-2\angle A$.