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27.(10分)
【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质(没有相同的因数)整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数.如$\sqrt{2}$不能表示为两个互质的整数的商,所以$\sqrt{2}$是无理数,可以这样证明：
解：设$\sqrt{2}= \frac{a}{b}$,a与b是互质的两个整数,且$b\neq0$,
则$2= \frac{a^{2}}{b^{2}}$,即$a^{2}= $______①.
因为b是整数且不为0,
所以a是2的倍数.
设$a = 2n$(n是整数,且$n\neq0$),
则$a^{2}= 4n^{2}$.
所以$b^{2}= $______②,
所以b也是2的倍数,与a,b是互质的整数矛盾,
所以$\sqrt{2}$是无理数.
【解决问题】
(1)写出①,②表示的代数式,使证明过程完整.
①______；②______；
(2)求证：$\sqrt{3}$是无理数.
【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质(没有相同的因数)整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数.如$\sqrt{2}$不能表示为两个互质的整数的商,所以$\sqrt{2}$是无理数,可以这样证明：
解：设$\sqrt{2}= \frac{a}{b}$,a与b是互质的两个整数,且$b\neq0$,
则$2= \frac{a^{2}}{b^{2}}$,即$a^{2}= $______①.
因为b是整数且不为0,
所以a是2的倍数.
设$a = 2n$(n是整数,且$n\neq0$),
则$a^{2}= 4n^{2}$.
所以$b^{2}= $______②,
所以b也是2的倍数,与a,b是互质的整数矛盾,
所以$\sqrt{2}$是无理数.
【解决问题】
(1)写出①,②表示的代数式,使证明过程完整.
①______；②______；
(2)求证：$\sqrt{3}$是无理数.
答案：
(1)解:$2b^{2}$ $2n^{2}$
(2)证明:设$\sqrt{3}=\frac{c}{d}$,c与d是互质的两个整数,且$d\neq$0,则$3=\frac{c^{2}}{d^{2}},$所以$c^{2}=3d^{2}.$因为c,d是整数且不为0,所以c为3的倍数.设$c=3n$(n是整数,且$n\neq0$),所以$d^{2}=3n^{2},$所以d也是3的倍数,与a,b是互质的整数矛盾,所以$\sqrt{3}$是无理数.
(1)解:$2b^{2}$ $2n^{2}$
(2)证明:设$\sqrt{3}=\frac{c}{d}$,c与d是互质的两个整数,且$d\neq$0,则$3=\frac{c^{2}}{d^{2}},$所以$c^{2}=3d^{2}.$因为c,d是整数且不为0,所以c为3的倍数.设$c=3n$(n是整数,且$n\neq0$),所以$d^{2}=3n^{2},$所以d也是3的倍数,与a,b是互质的整数矛盾,所以$\sqrt{3}$是无理数.
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