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20. (6分)如图,在$\triangle ABC$中,点$D在边AC$上,$DB= BC$,$E是线段CD$的中点,$F是边AB$的中点,求证：$EF= \frac{1}{2}AB$。
答案：
证明:连接$BE$.因为$DB=BC$,$E$是线段$CD$的中点,所以$BE\perp AC$,所以$\angle BEA=90^{\circ}$.因为$F$是边$AB$的中点,所以$EF=\frac{1}{2}AB$.
21. (6分)(2025南京秦淮模拟)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 60^{\circ}$,$AC= \frac{1}{2}AB$,求证：$\triangle ABC$是直角三角形。
答案：
证明:如图,在$AB$上取一点$D$,使得$AD=AC$,连接$CD$.因为$\angle A=60^{\circ}$,所以$\triangle ACD$是等边三角形,所以$CD=AD=AC$,$\angle ADC=\angle ACD=60^{\circ}$.因为$AC=\frac{1}{2}AB$,所以$AD=\frac{1}{2}AB$,所以$BD=AD=CD$,所以$\angle B=\angle BCD$.因为$\angle ADC=\angle B+\angle BCD$,所以$\angle BCD=30^{\circ}$,所以$\angle ACB=\angle BCD+\angle ACD=90^{\circ}$,所以$\triangle ABC$为直角三角形.
证明:如图,在$AB$上取一点$D$,使得$AD=AC$,连接$CD$.因为$\angle A=60^{\circ}$,所以$\triangle ACD$是等边三角形,所以$CD=AD=AC$,$\angle ADC=\angle ACD=60^{\circ}$.因为$AC=\frac{1}{2}AB$,所以$AD=\frac{1}{2}AB$,所以$BD=AD=CD$,所以$\angle B=\angle BCD$.因为$\angle ADC=\angle B+\angle BCD$,所以$\angle BCD=30^{\circ}$,所以$\angle ACB=\angle BCD+\angle ACD=90^{\circ}$,所以$\triangle ABC$为直角三角形.
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