《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

26. (10分)(2025南京鼓楼期中)与直角三角形三条边长对应的3个正整数$(a,b,c)$称为勾股数,《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3,4,5”就是一组最简单的勾股数,显然,这组数的整数倍,如$(6,8,10)$,$(9,12,15)$,$(12,16,20)$等都是勾股数。当然,勾股数远远不止这些,如$(5,12,13)$,$(8,15,17)$等也都是勾股数。怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数$(a,b,c)才能满足关系式a^{2} + b^{2} = c^{2}$。设$(a,b,c)$为一组勾股数,观察下表回答问题：
表1
| $a$ | $b$ | $c$ |
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |


表2
| $a$ | $b$ | $c$ |
| 6 | 8 | 10 |
| 8 | 15 | 17 |
| 10 | 24 | 26 |
| 12 | 35 | 37 |
(1)根据表1的规律写出勾股数$(11,$______$, $______$)$；
观察可得：表1中$b$,$c与a^{2}$之间的关系是______(填勾股定理不得分)；
(2)根据表2的规律写出勾股数$(16,$______$, $______$)$；
观察可得：表2中$b$,$c与a^{2}$之间的关系是______(填勾股定理不得分)；
(3)老师告诉小明一组符合表1或表2的勾股数,但他回家后只记得其中最大的数是145,你知道这组勾股数可能是多少吗？(请用勾股定理的形式直接写出结果,例如$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$)

答案：
(1)60　61　a²=b+c
(2)63　65　$\frac{1}{2}$a²=b+c
(3)17² + 144²=145²或24² + 143²=145²