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26. (12分)
【探索发现】
如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 45^{\circ}$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,$BE\perp AC$,垂足为$E$,$AD与BE相交于点F$。
(1)试判断线段$AF与BC$的数量关系,并说明理由；
(2)若$\angle ABC= 67.5^{\circ}$,试猜想线段$AF与BD$有何数量关系,并说明理由；
【拓展应用】
(3)如图2,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,垂足为$D$,若$\angle BAC= 45^{\circ}$,$\angle C= 22.5^{\circ}$,$AD= 2$,求$\triangle ABC$的面积。
【探索发现】
如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 45^{\circ}$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,$BE\perp AC$,垂足为$E$,$AD与BE相交于点F$。
(1)试判断线段$AF与BC$的数量关系,并说明理由；
(2)若$\angle ABC= 67.5^{\circ}$,试猜想线段$AF与BD$有何数量关系,并说明理由；
【拓展应用】
(3)如图2,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,垂足为$D$,若$\angle BAC= 45^{\circ}$,$\angle C= 22.5^{\circ}$,$AD= 2$,求$\triangle ABC$的面积。
答案：
(1)$AF=BC$.理由如下:因为$BE\perp AC$,所以$\angle AEF=\angle BEC=90^{\circ}$.因为$\angle BAC=45^{\circ}$,所以$\triangle ABE$是等腰直角三角形,所以$EA=EB$.因为$AD\perp BC$,所以$\angle ADC=90^{\circ}$,所以$\angle C+\angle EAF=90^{\circ}$.因为$\angle C+\angle EBC=90^{\circ}$,所以$\angle EAF=\angle EBC$.在$\triangle AEF$和$\triangle BEC$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle AEF=\angle BEC,\\ EA=EB,\\ \angle EAF=\angle EBC,\end{array}\right.$所以$\triangle AEF\cong \triangle BEC(ASA)$,所以$AF=BC$.
(2)$AF=2BD$.理由如下:在$\triangle ABC$中,$\angle CAB=45^{\circ}$,$\angle ABC=67.5^{\circ}$,所以$\angle C=180^{\circ}-45^{\circ}-67.5^{\circ}=67.5^{\circ}$,所以$\angle C=\angle ABC$,所以$AB=AC$.因为$AD\perp BC$,所以$CD=BD=\frac{1}{2}BC$.由
(1)知,$AF=BC$,所以$AF=2BD$.
(3)如图,延长$AD$至点$E$,使$DE=DA$,连接$CE$,交$AB$的延长线于点$G$.因为$CD\perp AE$,所以$\angle ADC=\angle EDC=90^{\circ}$.在$\triangle ACD$和$\triangle ECD$中,$\left\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ \angle ADC=\angle EDC,\\ CD=CD,\end{array}\right.$所以$\triangle ACD\cong \triangle ECD(SAS)$,所以$\angle ECD=\angle ACD=22.5^{\circ}$,所以$\angle ECA=45^{\circ}=\angle BAC$,所以$\angle AGC=90^{\circ}$,$AG=CG$,所以$AG\perp CE$.易得$\triangle AGE\cong \triangle CGB$,所以$AE=BC$,所以$BC=2AD=4$,所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}× 4× 2=4$.
(1)$AF=BC$.理由如下:因为$BE\perp AC$,所以$\angle AEF=\angle BEC=90^{\circ}$.因为$\angle BAC=45^{\circ}$,所以$\triangle ABE$是等腰直角三角形,所以$EA=EB$.因为$AD\perp BC$,所以$\angle ADC=90^{\circ}$,所以$\angle C+\angle EAF=90^{\circ}$.因为$\angle C+\angle EBC=90^{\circ}$,所以$\angle EAF=\angle EBC$.在$\triangle AEF$和$\triangle BEC$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle AEF=\angle BEC,\\ EA=EB,\\ \angle EAF=\angle EBC,\end{array}\right.$所以$\triangle AEF\cong \triangle BEC(ASA)$,所以$AF=BC$.
(2)$AF=2BD$.理由如下:在$\triangle ABC$中,$\angle CAB=45^{\circ}$,$\angle ABC=67.5^{\circ}$,所以$\angle C=180^{\circ}-45^{\circ}-67.5^{\circ}=67.5^{\circ}$,所以$\angle C=\angle ABC$,所以$AB=AC$.因为$AD\perp BC$,所以$CD=BD=\frac{1}{2}BC$.由
(1)知,$AF=BC$,所以$AF=2BD$.
(3)如图,延长$AD$至点$E$,使$DE=DA$,连接$CE$,交$AB$的延长线于点$G$.因为$CD\perp AE$,所以$\angle ADC=\angle EDC=90^{\circ}$.在$\triangle ACD$和$\triangle ECD$中,$\left\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ \angle ADC=\angle EDC,\\ CD=CD,\end{array}\right.$所以$\triangle ACD\cong \triangle ECD(SAS)$,所以$\angle ECD=\angle ACD=22.5^{\circ}$,所以$\angle ECA=45^{\circ}=\angle BAC$,所以$\angle AGC=90^{\circ}$,$AG=CG$,所以$AG\perp CE$.易得$\triangle AGE\cong \triangle CGB$,所以$AE=BC$,所以$BC=2AD=4$,所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}× 4× 2=4$.
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