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26.(12分)(2025扬州邗江期中)
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.
【知识运用】
(1)如图,铁路上$A$,$B$两点(看作直线上的两点)相距40km,$C$,$D$为两个村庄(看作两个点),$AD\perp AB$,$BC\perp AB$,垂足分别为$A$,$B$. 若$AD= 25km$,$BC= 16km$,则两个村庄的距离为______km；
(2)在(1)的条件下,若$AB= 40km$,$AD= 24km$,$BC= 16km$,现要在$AB上建造一个供应站P$,使得$PC= PD$,请用尺规作图在图中作出点$P的位置并求出AP$的距离；
【知识迁移】
(3)借助上面的思考过程与几何模型,则代数式$\sqrt{x^{2}+25}+\sqrt{(9-x)^{2}+49}(0＜x＜9)$的最小值为______.
【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.
【知识运用】
(1)如图,铁路上$A$,$B$两点(看作直线上的两点)相距40km,$C$,$D$为两个村庄(看作两个点),$AD\perp AB$,$BC\perp AB$,垂足分别为$A$,$B$. 若$AD= 25km$,$BC= 16km$,则两个村庄的距离为______km；
(2)在(1)的条件下,若$AB= 40km$,$AD= 24km$,$BC= 16km$,现要在$AB上建造一个供应站P$,使得$PC= PD$,请用尺规作图在图中作出点$P的位置并求出AP$的距离；
【知识迁移】
(3)借助上面的思考过程与几何模型,则代数式$\sqrt{x^{2}+25}+\sqrt{(9-x)^{2}+49}(0＜x＜9)$的最小值为______.
答案：
解:
(1)41 提示:如图1,连接CD,作CE⊥AD于点E.因为AD⊥AB,BC⊥AB,所以BC=AE,CE=AB,所以DE=AD-AE=25-16=9(km),所以CD=$\sqrt{DE^2+CE^2}$=$\sqrt{9^2+40^2}$=41(km).故两个村庄相距41 km.
(2)如图2,设AP=x km,则BP=(40-x)km,在Rt△ADP中,$DP^2=AP^2+AD^2=x^2+24^2$,在Rt△BPC中,$CP^2=BP^2+BC^2=(40-x)^2+16^2$.因为PC=PD,所以$x^2+24^2=(40-x)^2+16^2$,解得x=16,所以AP=16 km.
(3)15 提示:如图3,先作出点C关于AB的对称点F,连接DF,过点F作EF⊥AD交AD的延长线于点E,则DF就是代数式$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(9-x)^2+49}$(0＜x＜9)的最小值.代数式$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(9-x)^2+49}$(0＜x＜9)的几何意义是线段AB上一点到点D,C的距离之和,而它的最小值就是点C的对称点F和点D的距离,所以最小值为$\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$.
(1)41 提示:如图1,连接CD,作CE⊥AD于点E.因为AD⊥AB,BC⊥AB,所以BC=AE,CE=AB,所以DE=AD-AE=25-16=9(km),所以CD=$\sqrt{DE^2+CE^2}$=$\sqrt{9^2+40^2}$=41(km).故两个村庄相距41 km.
(2)如图2,设AP=x km,则BP=(40-x)km,在Rt△ADP中,$DP^2=AP^2+AD^2=x^2+24^2$,在Rt△BPC中,$CP^2=BP^2+BC^2=(40-x)^2+16^2$.因为PC=PD,所以$x^2+24^2=(40-x)^2+16^2$,解得x=16,所以AP=16 km.
(3)15 提示:如图3,先作出点C关于AB的对称点F,连接DF,过点F作EF⊥AD交AD的延长线于点E,则DF就是代数式$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(9-x)^2+49}$(0＜x＜9)的最小值.代数式$\sqrt{x^2+25}+\sqrt{(9-x)^2+49}$(0＜x＜9)的几何意义是线段AB上一点到点D,C的距离之和,而它的最小值就是点C的对称点F和点D的距离,所以最小值为$\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$.
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