《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

22. (8分)如图,$\angle B= \angle C= 90^{\circ}$,$E是BC$的中点,$DE平分\angle ADC$。
(1)求证：$AE是\angle DAB$的平分线；
(2)若$AE= 4$,$DE= 3$,求四边形$ABCD$的面积。

答案：

(1)证明:如图,过点$E$作$EF\perp DA$于点$F$.因为$\angle C=90^{\circ}$,$DE$平分$\angle ADC$,所以$CE=EF$.因为$E$是$BC$的中点,所以$BE=CE$,所以$BE=EF$.又因为$\angle B=90^{\circ}$,即$EB\perp AB$,$EF\perp AD$,所以$AE$是$\angle DAB$的平分线.
(2)解:因为$DE$平分$\angle ADC$,$EF\perp DA$,$EC\perp DC$,所以$\angle EDF=\angle EDC$,$\angle EFD=\angle C=90^{\circ}$.又因为$ED=ED$,所以$\triangle EDF\cong \triangle EDC(AAS)$.同理可证$\triangle EAB\cong \triangle EAF$.易证$\angle AED=90^{\circ}$,所以$S_{四边形ABCD}=2S_{\triangle AED}=2× \frac{1}{2}× 3× 4=12$.

23. (8分)(2025苏州模拟)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= CB$,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$D为AB$延长线上一点,点$E在边BC$上,且$BE= BD$,连接$AE$,$DE$,$DC$。
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle CBD$；
(2)若$\angle CAE= 30^{\circ}$,求$\angle BDC$的度数。

答案：
(1)证明:在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$D$为$AB$延长线上一点,所以$\angle ABE=\angle CBD=90^{\circ}$.在$\triangle ABE$和$\triangle CBD$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ \angle ABE=\angle CBD,\\ BE=BD,\end{array}\right.$所以$\triangle ABE\cong \triangle CBD(SAS)$.
(2)解:在$\triangle ABC$中,$AB=CB$,$\angle ABC=90^{\circ}$,所以$\angle BAC=\angle ACB=\frac{1}{2}× (180^{\circ}-90^{\circ})=45^{\circ}$.由
(1),得$\triangle ABE\cong \triangle CBD$,所以$\angle AEB=\angle CDB$.因为$\angle AEB$为$\triangle AEC$的外角,所以$\angle AEB=\angle ACB+\angle CAE$.因为$\angle CAE=30^{\circ}$,所以$\angle AEB=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$,所以$\angle BDC=\angle AEB=75^{\circ}$.