《2025年南通小题课时作业本八年级数学上册苏科版》

22. (8分)(2025镇江丹徒期中)勾股定理体现了数与形的完美结合,小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感,发现新的拼图方法：如图,两个全等的直角三角板$ABC和直角三角板DEF$,顶点$D在边BC$上,顶点$F$,$B$重合,连接$AE$,$AD$。设$AB$,$DE交于点G$。已知$\angle ACB = \angle DFE = 90^{\circ}$,$BC = EF = a$,$AC = DF = b(a＞b)$,$AB = DE = c$。请你回答下列问题：
(1)$\angle AGE = $______,$S_{四边形ADBE} = $______(用含字母$c$的代数式表示)；
(2)请用两种方法计算四边形$ACBE$的面积,并以此为基础证明勾股定理。

答案：
(1)90°　$\frac{1}{2}$c²
(2)方法一:S四边形ACBE=$\frac{1}{2}$(AC+EF)BC=$\frac{1}{2}$(b+a)a=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$a²;方法二:S四边形ACBE=S△ACD+S四边形ADBE=$\frac{1}{2}$b(a−b)+$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$c².根据上面的两种方法可得出$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{2}$ab−$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$c²,所以a²+b²=c².

23. (8分)(2025连云港赣榆期中)2024年某文化旅游品牌活动在青秀山风景区拉开帷幕,大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴。如图,在地图上$A$,$B$两站的直线距离为25km,$C$,$D$为青秀山和园博园民俗文化活动场地,且$DA\perp AB于点A$,$CB\perp AB于点B$。已知$DA = 15km$,$CB = 10km$,现在小明要在直线$AB上找到地点E$。
(1)若要使得$C$,$D两活动点到地点E$的距离相等,则小明所在的$E站应在距离A$站多少千米处？
(2)若要使得地点$E到C$,$D$两地的距离之和最短,则小明所在的$E站应在距离A$站多少千米处？

答案：
(1)因为C,D两活动点到地点E站的距离相等，所以DE=CE;因为DA⊥AB,CB⊥AB,所以∠A=∠B=90°,所以AE²+AD²=DE²,BE²+BC²=CE²,所以AE²+AD²=BE²+BC².设AE=xkm,则BE=AB−AE=(25−x)km.因为DA=15km,CB=10km,所以x²+15²=(25−x)²+10²,解得x=10,即AE=10km,所以小明所在的E站应在距离A站10km处.
(2)作点D关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于点E',则点E'到C,D两地的距离之和最短，过点D'作D'F⊥CB的延长线于点F，則∠F=90°,D’F=AB=25,CF=CB+BF=CB+AD'=CB+AD=25,所以D'F=CF;易得E'C+E'D的最小值即为CD',此时∠BCE'=45°,则∠AE'D'=∠CE'B=45°,所以∠AD'E'=∠AE'D'=45°,所以AE'=AD=15km,所以要使得地点E到C,D两地的距离之和最短，小明所在的E站应在距离A站15km处.