《2025年暑假大串联安徽人民出版社七年级数学北师大版》

23. 在课堂中,同学们学习了自然数被 3 整除的规律,即如果一个自然数所有数位之和能被 3 整除,那么这个自然数就可以被 3 整除. 并且同学们完成了两位数被 3 整除规律的证明:
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 a 和 b,通常记为 $\overline{ab}$. 则 $\overline{ab} = 10a + b = 9a + (a + b)$.
由题目条件知, $a + b$ 可以被 3 整除,而且 9a 也能被 3 整除,所以 $9a + (a + b)$ 可以被 3 整除.
故 $\overline{ab}$ 可以被 3 整除.
(1) 以三位数 $\overline{abc}$ 为例,仿照上述证明过程,完成 $\overline{abc}$ 被 3 整除规律的证明.
(2) 若三位数 $\overline{abc}$ 与 $\overline{bcd}$ 的和能被 11 整除,求 $a + d$.

答案：
(1) 因为 $ \overline { a b c } = 100 a + 10 b + c = 99 a + 9 b + ( a + b + c ) $，由题目条件知，$ a + b + c $ 可以被 3 整除，而且 $ 99 a $，$ 9 b $ 能被 3 整除，所以 $ 99 a + 9 b + ( a + b + c ) $ 可以被 3 整除。故 $ \overline { a b c } $ 可以被 3 整除。
(2) 因为 $ \overline { a b c } + \overline { b c d } = 100 a + 10 b + c + 100 b + 10 c + d = 100 a + 110 b + 11 c + d = 99 a + 110 b + 11 c + ( a + d ) $，且 $ 99 a $，$ 110 b $，$ 11 c $ 能被 11 整除，所以若 $ \overline { a b c } $ 与 $ \overline { b c d } $ 的和能被 11 整除，则 $ a + d $ 能被 11 整除，因为 $ a $ 为不超过 9 的正整数，$ d $ 为不超过 9 的自然数，所以 $ a + d $ 为不超过 18 的正整数，得 $ a + d = 11 $。

24. 春节临近,某电商平台需要定制一种上盖为双层的长方体外包装纸箱,纸箱的高度为 h(如图 1),上盖纸板面积等于下底面面积的 2 倍,并且每个外包装纸箱刚好能装入两个同样大小的小包装盒(如图 2),纸箱厚度忽略不计. 已知每个小包装盒的长、宽、高分别为 a,b,c.




(1) 若 $a ＞ b ＞ c$,以图 2 的下底面为底面,用两个同样的小包装盒搭成一个大长方体.
①共有____种不同的摆放方式.
②请画出从上面看到的每种摆放方式的大长方体的形状图,画出的形状图中的每个小长方形(如图 3),且在每个小长方形中标出该位置摆放的小包装盒的个数.
(2) 若 $a = c = 20\mathrm{cm}$, $b = 12\mathrm{cm}$, $h ＜ 2b$ 时,求出电商平台所订制的长方体外包装纸箱所需纸板面积的最小值.

答案：

(1) ①3 ②三种情况的图，如图。

(2) 当 $ a = 20 \mathrm { cm } $，$ b = 12 \mathrm { cm } $，$ c = 20 \mathrm { cm } $ 时，因为 $ h ＜ 2 b $，所以共有三种放进纸箱的方式。
如图:

$ 2 \times 20 \times 20 + 2 \times 2 \times 12 \times 20 + 3 \times 2 \times 20 \times 12 = 3200 ( \mathrm { cm } ^ { 2 } ) $，
如图:

$ 2 \times 2 \times 20 \times 20 + 2 \times 12 \times 20 + 3 \times 2 \times 20 \times 12 = 3520 ( \mathrm { cm } ^ { 2 } ) $，
如图:

$ 3 \times 2 \times 20 \times 20 + 2 \times 12 \times 20 + 2 \times 2 \times 20 \times 12 = 3840 ( \mathrm { cm } ^ { 2 } ) $，
因为 $ 3200 ＜ 3520 ＜ 3840 $，所以电商平台所需纸板面积最小为 $ 3200 \mathrm { cm } ^ { 2 } $。