《2025年暑假大串联安徽人民出版社七年级数学北师大版》

例1 已知$n$是无理数,且$2 ＜ n ＜ 3$,写出一个满足条件的$n$的值：______.

答案： 解析：$\because n$是无理数,且$2 ＜ n ＜ 3$,$\therefore满足条件的n的值是\frac{3}{4}\pi$(答案不唯一). 故答案为：$\frac{3}{4}\pi$(答案不唯一).

例2 在$\frac{23}{7}$,$0$,$0.2121121112…$(相邻两个2之间1的个数逐次加1),$-3$,$\pi$,$-2$中,无理数有______个.

答案： 解析：$0.2121121112…$(相邻两个2之间1的个数逐次加1),$\pi$是无理数,共2个. 故答案为：2.

例3 已知在等式$\frac{ax + b}{cx + d} = s$中,$a$,$b$,$c$,$d$都是有理数,$x$是无理数.
(1)当$a$,$b$,$c$,$d$满足什么条件时,$s$是有理数.
(2)当$a$,$b$,$c$,$d$满足什么条件时,$s$是无理数.

答案： 解析：
(1)当$a = c = 0$,$d \neq 0$时,$s = \frac{b}{d}$是有理数. 当$c \neq 0$时,$s = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c}(cx + d) + b - \frac{ad}{c}}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx + d}$,其中$\frac{a}{c}$是有理数,$cx + d$是无理数,$b - \frac{ad}{c}$是有理数. 要使$s$为有理数,只有$b - \frac{ad}{c} = 0$,即$bc = ad$. 综上知,当$a = c = 0且d \neq 0或c \neq 0且ad = bc$时,$s$是有理数.

(2)当$c = 0$,$d \neq 0$,且$a \neq 0$时,$s$是无理数. 当$c \neq 0$时,$s = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c}(cx + d) + b - \frac{ad}{c}}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx + d}$,其中$\frac{a}{c}$是有理数,$cx + d$是无理数,$b - \frac{ad}{c}$是有理数. 所以当$b - \frac{ad}{c} \neq 0$,即$bc \neq ad$,$s$为无理数. 综上知,当$c = 0$,$a \neq 0$,$d \neq 0或c \neq 0$,$ad \neq bc$时,$s$是无理数.