《2025年暑假大串联安徽人民出版社七年级数学北师大版》

23. 观察下列式子,并回答后面的问题.
$1^{3}+2^{3}= \frac {1}{4}×2^{2}×3^{2}$,$1^{3}+2^{3}+3^{3}= \frac {1}{4}×3^{2}×4^{2}$,
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}= \frac {1}{4}×4^{2}×5^{2}$,……
(1)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+... +n^{3}= $______.
(2)根据乘方的意义可求$(2n)^{3}= 2n×2n×2n= 2×2×2n\cdot n\cdot n= 2^{3}n^{3}= 8n^{3}$.则$2^{3}+4^{3}+6^{3}+8^{3}+... +16^{3}= $______.
(3)利用(1)、(2)得到的结论,求$3^{3}+5^{3}+7^{3}... +15^{3}$的值.

答案：
(1)$\frac{1}{4}$n²(n+1)²
(2)10368　
(3)8127

24. 如图,$O是直线AB$上的一点,$∠COD$是直角,$OE平分∠BOC$
(1)如图1,若$∠AOC= 30^{\circ }$,求$∠DOE$的度数.
(2)在图1中,若$∠AOC= \alpha $,直接写出$∠DOE$的度数：______(用含$\alpha $的代数式表示).
(3)将图1中的$∠COD绕顶点O$顺时针旋转.
①当$∠COD$旋转至如图2所示的位置时,请探究$∠AOD与∠BOE$的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由.
②过点$O的一条射线OF$,使得$OC恰好平分∠BOF$,在图1和图2中分别探究$∠AOF与∠DOE$的度数之间的关系,请直接写出结论.

答案：
(1)15°
(2)$\frac{a}{2}$
(3)①∠AOD−2∠BOE=90°
　　②在图1中,∠AOF+4∠DOE=180°;在图2中,4∠DOE−∠AOF=180°.