《2025年暑假大串联安徽人民出版社七年级数学北师大版》

23. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,点$P为BC$上一点(点$P与B$,$C$不重合),设$\angle CDP= \angle \alpha$,$\angle CPD= \angle \beta$,试说明,不论点$P在BC$上怎样运动,总有$\angle \alpha+\angle \beta=\angle B$.

答案： 过点P作PE//CD,交AD于E,则∠DPE=∠α.
∵AB/CD,
∴PE//AB.
∴∠CPE=∠B,即∠DPE+β=∠α+∠β=∠B.故不论点P在BC上怎样运动,总有∠α+β=∠B,

24. 如图,$AB// CD$,$AE平分\angle BAD$,$CD与AE相交于F$,$\angle CFE= \angle E$.试说明：$AD// BC$.

答案：
∵AE平分∠BAD,
∴∠1=∠2.
∵AB//CD,∠CFE=∠E,
∴∠1=∠CFE=∠E.
∴∠2=∠E.
∴AD //BC.

25. 如图,$BE平分\angle ABD$,$DE平分\angle BDC$,且$\angle EBD+\angle EDB= 90^{\circ}$.
(1)试说明：$AB// CD$.
(2)$H是BE的延长线与直线CD$的交点,$BI平分\angle HBD$,写出$\angle EBI与\angle BHD$的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)
∵BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,
∴∠ABD=2∠EBD,∠BDC=2∠EDB.
∵∠EBD+∠EDB=90°,
∴∠ABD+∠BDC=2(∠EBD+∠EDB)=180°.
∴AB//CD.　
(2)∠EBI=$\frac{1}{2}$∠BHD.理由如下:
∵AB//CD,
∴∠ABH=∠BHD.
∵BI平分∠EBD,BH平分∠ABD,
∴∠EBI=$\frac{1}{2}$∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABH=$\frac{1}{2}$∠BHD.