《2025年暑假大串联安徽人民出版社七年级数学北师大版》

例1 如图,一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上,∠C= 90°,此时梯子的底端B离墙C的距离BC为0.7m。
(1) 求此时梯子的顶端A距地面的高度AC。
(2) 如果梯子的顶端A下滑了0.9m,那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？

答案： 解析：
(1)
∵∠C= 90°,AB= 2.5,BC= 0.7,
∴$AC^2= AB^2-BC^2= 2.5^2-0.7^2= 5.76,AC= 2.4,$所以此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米。
(2)
∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A',
∴A'C= AC-A'A= 2.4-0.9= 1.5,在Rt△A'CB'中,由勾股定理得：$A'C^2+B'C^2= A'B'^2,$即$1.5^2+B'C^2= 2.5^2,$
∴B'C= 2,
∴BB'= CB'-BC= 2-0.7= 1.3,所以梯子的底端B在水平方向向右滑动了1.3m。

例2 如图,有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发,客船每小时比货船多走5海里,客船与货船速度的比为4:3,货船沿东偏南10°方向航行,2小时后货船到达B处,客船到达C处,若此时两船相距50海里。
(1) 求两船的速度分别是多少。
(2) 求客船航行的方向。

答案： 解析：
(1) 设两船的速度分别是4x海里/时和3x海里/时,依题意得,4x-3x= 5。解得x= 5,
∴4x= 20,3x= 15,
∴两船的速度分别是20海里/时和15海里/时。
(2) 由题意可得,AB= 15×2= 30,AC= 20×2= 40,BC= 50,
∴$AB^2+AC^2= BC^2,$
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC= 90°,又
∵货船沿东偏南10°方向航行,
∴客船航行的方向为北偏东10°方向。