《2025年暑假大串联安徽人民出版社七年级数学北师大版》

3. 一条直线将平面分成两部分,两条直线将平面最多分成四部分,那么三条直线将平面最多分成几部分? 五条直线将平面最多分成几部分?$n$条直线呢? 在下面画图,探索其中的规律.

答案： 7　16　2+2+3+4+,,+(n−1)+n=$\frac{n²+n+2}{2}$

4. 如图,$\triangle ABC$中,$∠ABC和∠ACB的平分线BD$,$CE相交于点O$,$∠A= α$,试探究$∠BOC与α$之间的关系.

答案： ∠B0C=90°+$\frac{1}{2}$a

5. 已知等边$\triangle ABC和点P$,设点$P到\triangle ABC三边AB$,$AC$,$BC的距离分别为h_{1}$,$h_{2}$,$h_{3}$,$\triangle ABC的高为h$.如图,若点$P在一边BC$上(如图 1),此时$h_{3}= 0$,可得结论:$h_{1}+h_{2}+h_{3}= h$.请解决下列问题:
当点$P在\triangle ABC$内(如图 2),点$P在\triangle ABC$外(如图 3)这两种情况时,上述结论是否还成立? 若成立,请给予证明;若不成立,$h_{1}$,$h_{2}$,$h_{3}与h$之间又有怎样的关系? 请写出你的猜想,不需证明.

答案： 当P在△ABC内时,h1+h2+h3=h.理由如下:S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC,
∴$\frac{BC.AM}{2}$=$\frac{AB.PD}{2}$
　+$\frac{AC.PE}{2}$+$\frac{BC.PF}{2}$=$\frac{BC.(PD+PE+PF)}{2}$,
∴AM=PD+PE+PF,即h=h1+h2+h3.当P在△ABC外时,h=h1+h2−h3.