《2025年暑假大串联安徽人民出版社七年级数学北师大版》

23. 在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在线段 $ AC $ 上,$ DE// BC $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,点 $ F $ 在线段 $ AB $ 上(点 $ F $ 不与点 $ A $,$ E $,$ B $ 重合),连接 $ DF $,过点 $ F $ 作 $ FG\perp FD $ 交射线 $ CB $ 于点 $ G $.
(1)如图,点 $ F $ 在线段 $ BE $ 上.
①直接写出 $ \angle EDF $ 与 $ \angle BGF $ 的数量关系.
②试说明：$ \angle ABC+\angle BFG-\angle EDF= 90^{\circ} $.
(2)当点 $ F $ 在线段 $ AE $ 上时,请在备用图中补全图形,写出 $ \angle EDF $ 与 $ \angle BGF $ 的数量关系,并说明理由.

答案：

(1) ① $\angle EDF+\angle BGF=90^{\circ }$ ②如图 1,过点 F 作 $FH// BC$ 交 AC 于点 H,所以 $\angle ABC=\angle AFH$,所以 $\angle ABC=\angle 1+\angle 3$,所以 $\angle 3=\angle ABC-\angle 1$. 因为 $\angle EDF=\angle 1$,所以 $\angle 3=\angle ABC-\angle EDF$. 因为 $FG\perp FD$,所以 $\angle DFG=90^{\circ }$,所以 $\angle BFG+\angle 3=90^{\circ }$,所以 $\angle 3=90^{\circ }-\angle BFG$,所以 $90^{\circ }-\angle BFG=\angle ABC-\angle EDF$,所以 $\angle ABC+\angle BFG-\angle EDF=90^{\circ }$.

(2) $\angle BGF-\angle EDF=90^{\circ }$ 或 $\angle BGF+\angle EDF=90^{\circ }$. 理由:①当点 G 在线段 CB 上时,设 DE 交 FG 于 J,如图 2. 因为 $DE// BC$,所以 $\angle BGF=\angle FJE$. 因为 $\angle FJE=\angle DFJ+\angle EDF,\angle DFJ=90^{\circ }$,所以 $\angle BGF-\angle EDF=90^{\circ }$.
②当点 G 在 CB 的延长线上时,同法可证 $\angle EDF+\angle BGF=90^{\circ }$,如图 3.