《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

26. （12分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始下降. 学生注意力指标 $ y $ 随时间 $ x ( \mathrm { min } ) $ 变化的图象如图所示，当 $ 0 \leqslant x ＜ 10 $ 和 $ 10 \leqslant x ＜ 20 $ 时，图象是线段；当 $ 20 \leqslant x \leqslant 45 $ 时，图象是反比例函数图象的一部分.
（1）求点 $ A $ 对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 $ 17 \mathrm { min } $，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 $ 36 $？请说明理由.

答案： 解：
(1) 设当 $20 \leqslant x \leqslant 45$ 时，反比例函数的表达式为 $y=\frac{k}{x}$。将点 $C(20,45)$ 代入，得 $k=45 \times 20=900$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{900}{x}$。当 $x=45$ 时，$y=\frac{900}{45}=20$，$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(45,20)$，$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(0,20)$，即点 $A$ 对应的指标值为 20。
(2) 能。理由如下：当 $0 \leqslant x＜10$ 时，设 $AB$ 段对应的函数表达式为 $y=m x+n$。将点 $A(0,20), B(10,45)$ 代入，得 $\left\{\begin{array}{l}20=n, \\ 45=10 m+n,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{2}, \\ n=20,\end{array}\right.$ $\therefore AB$ 段对应的函数表达式为 $y=\frac{5}{2} x+20$。当 $y \geqslant 36$ 时，$\frac{5}{2} x+20 \geqslant 36$，解得 $x \geqslant \frac{32}{5}$。由
(1) 知反比例函数的表达式为 $y=\frac{900}{x}$。当 $y \geqslant 36$ 时，$\frac{900}{x} \geqslant 36$，解得 $x \leqslant 25$，$\therefore$ 当 $\frac{32}{5} \leqslant x \leqslant 25$ 时，注意力指标都不低于 36。$\because 25-\frac{32}{5}=\frac{93}{5}＞17$，$\therefore$ 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36。