《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

23. （8分）如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$BC$上，$\angle ADE=\angle ABC$，$\angle EAF=\angle FDC$，$DE$与$AC$相交于点$F$．
（1）求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$；
（2）连接$BF$，若$AB^2 = AF\cdot AC$，求证：$AD\cdot BC = AE\cdot BF$．

答案： 证明：（1）$ \because \angle E A F + \angle A F E + \angle E = \angle F D C + \angle C F D + \angle C = 180 ^ { \circ } $，$ \angle E A F = \angle F D C $，$ \angle A F E = \angle C F D $，$ \therefore \angle E = \angle C $。$ \because \angle A D E = \angle A B C $，$ \therefore \triangle A D E \backsim \triangle A B C $，$ \therefore \frac { A E } { A C } = \frac { A D } { A B } $，即 $ \frac { A B } { A C } = \frac { A D } { A E } $。（2）$ \because A B ^ { 2 } = A F \cdot A C $，$ \therefore \frac { A B } { A C } = \frac { A F } { A B } $。$ \because \angle B A C = \angle F A B $，$ \therefore \triangle A B C \backsim \triangle A F B $，$ \therefore \frac { A B } { A F } = \frac { B C } { B F } $，$ \therefore \frac { A F } { A B } = \frac { B F } { B C } $，$ \therefore \frac { A B } { A C } = \frac { B F } { B C } $。由（1）知 $ \frac { A B } { A C } = \frac { A D } { A E } $，$ \therefore \frac { B F } { B C } = \frac { A D } { A E } $，$ \therefore A D \cdot B C = A E \cdot B F $。

24. （8分）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点$G$处，手电筒的光从平面镜上点$B$处反射后，恰好经过木板的边缘点$F$，落在墙上的点$E$处，测得点$E$到地面的高度$DE = 3.5m$，点$F$到地面的高度$CF = 1.5m$，灯泡到木板的水平距离$AC = 5.4m$，墙到木板的水平距离为$CD = 4m$．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点$A$，$B$，$C$，$D$在同一水平面上．
（1）求$BC$的长；
（2）求灯泡到地面的高度$AG$．

答案： 解：（1）由题意，得 $ C F // D E $，$ \therefore \triangle B C F \backsim \triangle B D E $，$ \therefore \frac { B C } { B D } = \frac { C F } { D E } $，即 $ \frac { B C } { B C + 4 } = \frac { 1.5 } { 3.5 } $，$ \therefore B C = 3 \mathrm { m } $。（2）由（1）知 $ B C = 3 \mathrm { m } $，$ \therefore A B = A C - B C = 2.4 \mathrm { m } $。$ \because $ 光在镜面反射中的入射角等于反射角，$ \therefore \angle G B A = \angle F B C $。由题意，得 $ \angle G A B = \angle F C B = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \triangle B A G \backsim \triangle B C F $，$ \therefore \frac { A G } { C F } = \frac { A B } { B C } $，即 $ \frac { A G } { 1.5 } = \frac { 2.4 } { 3 } $，$ \therefore A G = 1.2 \mathrm { m } $。答：灯泡到地面的高度 $ A G $ 为 $ 1.2 \mathrm { m } $。