《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

24. （8分）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元. 为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件该商品.
（1）若每件商品降价6元，则平均每天可售出_______件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1600元？

答案： 解：
(1)32
(2)设每件商品降价$ x $元，则每件盈利$ ( 50 - x ) $元，平均每天可售出$ 20 + \frac { x } { 2 } \times 4 = 20 + 2 x $（件）。由题意，得$ ( 50 - x ) ( 20 + 2 x ) = 1600 $，解得$ x _ { 1 } = 10 $，$ x _ { 2 } = 30 $。当$ x = 10 $时，$ 50 - x = 50 - 10 = 40 ＞ 25 $，符合题意；当$ x = 30 $时，$ 50 - x = 50 - 30 = 20 ＜ 25 $，不符合题意，舍去。答：当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元。

25. （10分）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2kx + k^2 + 2 = 2(1 - x)$有两个实数根$x_1$，$x_2$.
（1）求实数$k$的取值范围；
（2）若$x_1$，$x_2$满足$|x_1 + x_2| = x_1x_2 - 1$，求$k$的值.

答案： 解：
(1)整理方程，得$ x ^ { 2 } - 2 ( k - 1 ) x + k ^ { 2 } = 0 $。由题意，得$ \Delta = 4 ( k - 1 ) ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } \geqslant 0 $，解得$ k \leqslant \frac { 1 } { 2 } $。
(2)由根与系数的关系，得$ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 ( k - 1 ) $，$ x _ { 1 } x _ { 2 } = k ^ { 2 } $。
∵$ | x _ { 1 } + x _ { 2 } | = x _ { 1 } x _ { 2 } - 1 $，
∴$ | 2 ( k - 1 ) | = k ^ { 2 } - 1 $。由
(1)知$ k \leqslant \frac { 1 } { 2 } $，
∴$ k - 1 ＜ 0 $，
∴$ - 2 ( k - 1 ) = k ^ { 2 } - 1 $，解得$ k _ { 1 } = - 3 $，$ k _ { 2 } = 1 $（不合题意，舍去），
∴$ k = - 3 $。