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22. （8分）如图，学校校园内有一小山坡$AB$，经测量，坡角$\angle ABC = 30^{\circ}$，斜坡$AB$长为12m.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡$BD$的坡度为$1:3$.$A$，$D$两点处于同一铅垂线上，求挖完后小山坡下降的高度$AD$.（结果保留根号）
答案：
解: 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle ABC=30^{\circ},\therefore AC=AB\cdot\sin\angle ABC=12\times\frac{1}{2}=6(m),BC=AB\cdot\cos\angle ABC=12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}(m).\because$ 斜坡 $BD$ 的坡度是 $1:3,\therefore CD=\frac{1}{3}BC=2\sqrt{3}m,\therefore AD=AC-CD=(6-2\sqrt{3})m$. 答: 挖完后小山坡下降的高度 $AD$ 为 $(6-2\sqrt{3})m$.
23. （8分）如图，在$\triangle ABC$中，$AD$与$CE$分别是边$BC$与$AB$上的高.已知$AB = 12$，$BC = 16$，$S_{\triangle ABC} = 48$.
（1）求$\angle B$的度数；
（2）求$\tan\angle ACB$的值.
（1）求$\angle B$的度数；
（2）求$\tan\angle ACB$的值.
答案：
解:
(1) 由题意可知 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times16\times AD=48$, 解得 $AD=6,\therefore$ 在 $Rt\triangle ABD$ 中, $\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2},\therefore\angle B=30^{\circ}$.
(2) 由
(1) 知 $AD=6$. 在 $Rt\triangle ABD$ 中, $BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=6\sqrt{3},\therefore CD=BC-BD=16-6\sqrt{3}$. 在 $Rt\triangle ACD$ 中, $\tan\angle ACB=\frac{AD}{CD}=\frac{6}{16-6\sqrt{3}}=\frac{24+9\sqrt{3}}{37}$.
(1) 由题意可知 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times16\times AD=48$, 解得 $AD=6,\therefore$ 在 $Rt\triangle ABD$ 中, $\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2},\therefore\angle B=30^{\circ}$.
(2) 由
(1) 知 $AD=6$. 在 $Rt\triangle ABD$ 中, $BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=6\sqrt{3},\therefore CD=BC-BD=16-6\sqrt{3}$. 在 $Rt\triangle ACD$ 中, $\tan\angle ACB=\frac{AD}{CD}=\frac{6}{16-6\sqrt{3}}=\frac{24+9\sqrt{3}}{37}$.
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