《2025年课时夺冠九年级数学上册湘教版》

26. （12 分）在四边形 $ ABCD $ 中，$ E,F $ 分别是 $ AB,AD $ 边上的点，$ DE $ 与 $ CF $ 相交于点 $ G $。
（1）如图 1，若四边形 $ ABCD $ 是矩形，且 $ DE\perp CF $，求证：$ \frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD} $；
（2）如图 2，若四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，试探究：当 $ \angle B $ 与 $ \angle EGC $ 满足什么关系时，$ \frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD} $ 成立？并证明你的结论。

答案：
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore \angle A = \angle ADC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ADE + \angle EDC = 90^{\circ}$。$\because DE \perp CF$，$\therefore \angle DGC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle EDC + \angle DCF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ADE = \angle DCF$，$\therefore \triangle ADE \sim \triangle DCF$，$\therefore \frac{DE}{CF} = \frac{AD}{CD}$。
(2) 解：当 $\angle B + \angle EGC = 180^{\circ}$ 时，$\frac{DE}{CF} = \frac{AD}{CD}$ 成立。证明如下：在 $AD$ 的延长线上取点 $M$，连接 $CM$，使 $CM = CF$，则 $\angle M = \angle CFM$。$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AB // CD$，$AD // BC$，$\therefore \angle A = \angle CDM$，$\angle BCF = \angle CFM$。$\because \angle B + \angle EGC = 180^{\circ}$，$\therefore \angle BEG + \angle FCB = 180^{\circ}$。$\because \angle BEG + \angle AED = 180^{\circ}$，$\therefore \angle AED = \angle FCB$，$\therefore \angle M = \angle AED$，$\therefore \triangle ADE \sim \triangle DCM$，$\therefore \frac{DE}{CM} = \frac{AD}{DC}$，即 $\frac{DE}{CF} = \frac{AD}{CD}$。