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26. （12分）如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 10cm$，$AD = 8cm$. 点$P$从点$A$出发沿$AB$以$2cm/s$的速度向终点$B$运动，同时点$Q$从点$B$出发沿$BC$以$1cm/s$的速度向终点$C$运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动.
（1）几秒后，点$P$，$D$之间的距离是点$P$，$Q$之间的距离的2倍？
（2）几秒后，$\triangle DPQ$的面积是$24cm^2$？
（1）几秒后，点$P$，$D$之间的距离是点$P$，$Q$之间的距离的2倍？
（2）几秒后，$\triangle DPQ$的面积是$24cm^2$？
答案：
解：
(1)设$ t $s后，点$ P $，$ D $之间的距离是点$ P $，$ Q $之间的距离的2倍。由题意，得$ A P = 2 t $cm，$ B Q = t $cm，
∴$ B P = A B - A P = ( 10 - 2 t ) $cm。
∵四边形$ A B C D $是矩形，
∴$ \angle A = \angle B = 90 ^ { \circ } $，
∴$ P D ^ { 2 } = A P ^ { 2 } + A D ^ { 2 } $，$ P Q ^ { 2 } = B P ^ { 2 } + B Q ^ { 2 } $。
∵$ P D = 2 P Q $，
∴$ P D ^ { 2 } = 4 P Q ^ { 2 } $，
∴$ ( 2 t ) ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = 4 [ ( 10 - 2 t ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } ] $，整理，得$ t ^ { 2 } - 10 t + 21 = 0 $，解得$ t _ { 1 } = 3 $，$ t _ { 2 } = 7 $。
∵当$ t = 7 $时，$ 10 - 2 t ＜ 0 $，不合题意，舍去，
∴$ t = 3 $，故3s后，点$ P $，$ D $之间的距离是点$ P $，$ Q $之间的距离的2倍。
(2)
∵四边形$ A B C D $是矩形，
∴$ B C = A D = 8 $cm，$ C D = A B = 10 $cm。设$ x $s后，$ \triangle D P Q $的面积是$ 24 \mathrm { cm } ^ { 2 } $，则$ A P = 2 x $cm，$ B Q = x $cm，
∴$ B P = A B - A P = ( 10 - 2 x ) $cm，$ C Q = B C - B Q = ( 8 - x ) $cm。
∵$ S _ { \triangle D P Q } = S _ { \text { 矩形 } A B C D } - S _ { \triangle A D P } - S _ { \triangle B P Q } - S _ { \triangle C D Q } = 24 \mathrm { cm } ^ { 2 } $，
∴$ 8 \times 10 - \frac { 1 } { 2 } \times 8 \times 2 x - \frac { 1 } { 2 } ( 10 - 2 x ) \cdot x - \frac { 1 } { 2 } ( 8 - x ) \times 10 = 24 $，整理，得$ x ^ { 2 } - 8 x + 16 = 0 $，解得$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 4 $，故4s后，$ \triangle D P Q $的面积是$ 24 \mathrm { cm } ^ { 2 } $。
(1)设$ t $s后，点$ P $，$ D $之间的距离是点$ P $，$ Q $之间的距离的2倍。由题意，得$ A P = 2 t $cm，$ B Q = t $cm，
∴$ B P = A B - A P = ( 10 - 2 t ) $cm。
∵四边形$ A B C D $是矩形，
∴$ \angle A = \angle B = 90 ^ { \circ } $，
∴$ P D ^ { 2 } = A P ^ { 2 } + A D ^ { 2 } $，$ P Q ^ { 2 } = B P ^ { 2 } + B Q ^ { 2 } $。
∵$ P D = 2 P Q $，
∴$ P D ^ { 2 } = 4 P Q ^ { 2 } $，
∴$ ( 2 t ) ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = 4 [ ( 10 - 2 t ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } ] $，整理，得$ t ^ { 2 } - 10 t + 21 = 0 $，解得$ t _ { 1 } = 3 $，$ t _ { 2 } = 7 $。
∵当$ t = 7 $时，$ 10 - 2 t ＜ 0 $，不合题意，舍去，
∴$ t = 3 $，故3s后，点$ P $，$ D $之间的距离是点$ P $，$ Q $之间的距离的2倍。
(2)
∵四边形$ A B C D $是矩形，
∴$ B C = A D = 8 $cm，$ C D = A B = 10 $cm。设$ x $s后，$ \triangle D P Q $的面积是$ 24 \mathrm { cm } ^ { 2 } $，则$ A P = 2 x $cm，$ B Q = x $cm，
∴$ B P = A B - A P = ( 10 - 2 x ) $cm，$ C Q = B C - B Q = ( 8 - x ) $cm。
∵$ S _ { \triangle D P Q } = S _ { \text { 矩形 } A B C D } - S _ { \triangle A D P } - S _ { \triangle B P Q } - S _ { \triangle C D Q } = 24 \mathrm { cm } ^ { 2 } $，
∴$ 8 \times 10 - \frac { 1 } { 2 } \times 8 \times 2 x - \frac { 1 } { 2 } ( 10 - 2 x ) \cdot x - \frac { 1 } { 2 } ( 8 - x ) \times 10 = 24 $，整理，得$ x ^ { 2 } - 8 x + 16 = 0 $，解得$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 4 $，故4s后，$ \triangle D P Q $的面积是$ 24 \mathrm { cm } ^ { 2 } $。
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